正弦、余弦的诱导公式
【教学目标】
（1）理解诱导公式的推导方法，掌握正弦、余弦的诱导公式；（2）能正确运用诱导公式求任意角的正弦、余弦值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式证明；（3）通过对公式的运用，提高三角恒等变形的能力和渗透化归数学思想，提高分析问题、解决问题的能力；（4）通过诱导公式的学习和应用，感受事物之间的普通联系规律，运用化归原理，揭示事物的本质属性，培养学生的唯物史观。
【教学建议】
余弦的诱导公式的知识结构
单位圆和三角函数的定义
正弦、余弦的四组诱导公式（公式二、三、四、五）任意角的正弦、余弦值分别转化为锐角的正弦、余弦值关于正弦、余弦的诱导公式的重点、难点分析重点是四组诱导公式和诱导公式一的综合运用；难点是运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式。
公式的推导过程主要利用了单位圆和三角函数的定义。在应用过程中，首先将负角或大于360°的角利用公式一化为0°～360°之间，若设定α为一锐角。则：90°＜θ＜180°θ=180°-α180°＜θ＜270°θ=180°＋α
270°＜θ＜360°θ=360°-α
若-90°＜θ＜0°，则θ=-α。
当然，角实际上对任意的角均适用，但求值时最多的是使为锐角的情况。
关于正弦、余弦的诱导公式的教法建议
（1）诱导公式的记忆。对教材中的五组同名三角函数的公式：180°±α与α，360°±α与α，-α与α的同名三角函数可用“函数名不变，符号看象限”来概括记忆。同时，也可根据情况，补充另外四组90°±α与α，270°±α与α的三角函数公式。总之，九组诱导公式给出了k·90°±α（k=1，2，3，4）与α的三角函数之间的关系，可用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆。其中“奇偶”是指k取1，2，3，4中的奇数与偶数时，“看”是一方面将α看成锐角时，k·90°±α所在象限，另一方面是看公式左端函数的符号，其中α可以是任意角，只不过为了记忆的方便，将α看做锐角。
（2）关于化归的一般步骤，教材中列举了一个方框图，教学时可依据方框图的顺序补充一个例题加以具体说明。
如，求sin（-945°）的值。则有sin（-945°）=-sin945°=-sin（2×360°＋225°）。=
-sin225°=-sin（180°＋45°）=-（-sin45°）=sin45°=22。
（3）教材中的五组诱导公式里的角，正文中均是用角度表示的，在教学中，可引导学生用弧度表示诱导公式中的角，以适应不同角度量制下诱导公式的运用。
【教学设计示例】
正弦、余弦的诱导公式
教学目标
1掌握诱导公式及其推演时过程。
2会应用诱导公式，进行简单的求值或化简。
教学重点
理解并掌握诱导公式。
教学难点
运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式。
教学用具
三角板、圆规、投影仪。
教学过程
设置情境
我们已经学过了诱导公式一：sin（α＋k·360°）=sinα，cos（α＋k·360°）=cosα，tan（α＋k·360°）=tanα，（k∈Z），有了它就可以把任意角的三角函数求值问题，转化为0°～360°间角的三角函数值问题。那么能否再把0°～360°间的角的三角函数求值，继续化为我们熟悉的0°～90°间的角的三角函数求值问题呢？如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可以化归为锐角三角函数求值，并通过查表方法而得到最终解决，本课就来讨论这一问题。
探索研究
（1）出示下列投影内容
设0°≤α≤90°，对于任意一个0°到360°的角β，以下四种情形中有且仅有一种成立。
β=α，当β∈[0°，90°］
180°-α，当β∈[90°，180］
180°＋α，当β∈[180°，270°］360°-α，当β∈[270°，360°］首先讨论180°＋α，其次讨论-α，180°-α以及360°-α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系，为了使讨论更具一般性，这里假定α为任意角。
图1
（2）学习诱导公式二、三的推导过程。
已知任意角α的终边与单位圆相交于点P（x，y），请同学们思考回答点P关于x轴、y轴、原点对称的三个点的坐标间的关系。
点P（x，y）关于x轴对称点P1（x，-y），关于y轴对称点P2（-x，y），关于原点对称点P3（-x，-y）（可利用演示课件）。
图1由于a角的终边与单位圆交于P（x，y），则180°＋a的终边就是角a终边的反向延长线，角180°＋a的终边与单位圆的交点为P′，则P′是与P关于O对称的点。所以P′（-x，-y），又因单位圆半径r=1，由正弦函数、余弦函数定义，可得sinα=yr=ycosa=xr=x
sin（180°＋α）=-yr=-y
cos（180°＋α）=-xr=-x
于是得到一组公式（公式二）
sin（180°＋α）=-sinα
cos（180°＋α）=-cosa
图2（也可利用演示课件）
我们再来研究角α与-α的三角函数值之间的关系，如图2，利用单位圆作出任意角α与单位圆相交于点P（x，y），角-α的终边与单位圆相交于点P′，这两个角的终边关于x轴对称，所以P′（x，-y）
∵r=1
∴sin（-α）=-y=-sina
cos（-α）=x=cosa
于是又得到一组公式（公式三）
sin（-α）=-sina
cos（-α）=cosa
例1求下列三角函数值：
（1）sin225°（2）cos（-1290°）；（3）sin-1110π；（4）cos（-240°12′）。
解：（1）sin225°=sin（180°＋45°）
=-sin45°=-22
（2）cos（-1290°）=cos1290°=cos（3×360°＋210°）
=cos210°=cos（180°＋30°）
=-cos30°=-32
（3）sin-1110π=-sin1110π=-sinπ＋110π=sin110π=sin18°=0.3090
（4）cos（-240°12′）=cos240°12′=cos（180°＋60°12′）
=-cos60°12′=-0.4970
例2化简：cos（180°＋α）·sin（α＋360°）sin（-a-180°）·cos（-180°-a）
解：∵sin（-a-180°）=sin[-（180°＋a）］=-sin（180°＋a）
=-（-sina）=sina
cos（-180°-a）=cos[-（-180°＋a）］=cos（180°＋a）
=-cosa
