∴原式=-cosa·sinasina·（-cosa）=1（3）推导诱导公式四、五请同学们思考如何利用已学过的诱导公式推导180°-a，360°-a与a的三角函值之间的关系？由诱导公式我们可以得到sin（180°-a）=sin[180°＋（-a）］=-sin（-a）=sinacos（180°-a）=cos[180°＋（-a）］=-cos（-a）=-cosasin（360°-a）-sin[360°＋（-a）］=sin（-a）=-sinacos（360°-a）=cos[360°＋（-a）］=cos（-a）=cosa由此可得公式四、五公式四sin（180°-α）=sinαcos（180°-α）=-cosα公式五sin（360°-α）=-sinαcos（360°-α）=cosa公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式。概括如下：a＋k·360（k∈Z），-a，180°±a，360°-a的三角函数值，等于a的同名函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号，简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀。
例3求下列各三角函数：
（1）sin-134π；（2）cos（-1665°）。
解：（1）sin-134π=-sin134π=-sin2π＋5π4=-sin5π4
-sinπ＋π4=sinπ4=22
（2）cos（-1665°）=cos1665°=cos（4×360°＋225°）
=cos225°=cos（180°＋45°）
=-cos45°=-22。
观察以上的解题过程，请同学们总结，利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤。
学生回答后老师总结得出，在求任意角的三角函数值时一般可按以下步骤：任意负角的三角函数用公式三或公式一任意正角的三角函数用公式一0°到360°的角的三角函数用公式二或四或五锐角三角函数查表求值运用诱导公式解题的本质是多次运用“化归”思想方法，化负角为正角，化0°到360°的角为0°到90°间的角，再求值的过程。
演练反馈
（1）已知cos（π＋a）=-12，求tan（a-9π）的值（2）已知cosπ6＋a=33，求cos5π6-a的值（3）已知cos3π2＋a=3，求cos3π2-a的值【参考答案】（1）若a为Ⅳ象限角，则tan（a-9π）=-3
若a为Ⅰ象限角，则tan（a-9π）=3
（2）cos5π6-a=cosπ-π6＋a=-cosπ6＋a=-33
（3）∵cos3π2＋a=cos2π-π2-a=cos-π2-a=cosπ2-a
=-cos
π＋π2-a=-cos
3π2-a
∴cos3π2-a=-cos3π2＋a=-3
【本课小结】
（1）求任意角的三角函数式的一般程序：负（角）变正（角）→大（角）变小（角）→（一直）变到0°～90°之间（能查表）。
（2）变角是有一定技巧的，如3π2＋a可写成π＋π2＋a，也可以写成2π-2π2-a不同表达方法，决定着使用不同的诱导公式。
（3）凑角方法也体现出很大技巧。如，已知角“π6＋a”，求未知角“5π6-a”，可把5π6-a改写成π-π6＋a。
课时作业
1已知sin（π＋a）=35，a是第四象限角，则cos（a-2π）的值是A．45B．-45
C.±45D．35
2下列公式正确的是
A．ctg（-a-180°）=ctgaB．sin2（π＋a）=-sin2aC．cos（-a＋β）=-cos（a＋β）D．tan（a-π）=tana3tan（π-a）=-tana的成立条件是A．a为不等于π2的任意角B．锐角
C．a∈RD.a≠kπ＋π2，k∈Z且a∈R。
4在△ABC中，下列各表达式为常数的是A．sin（A＋B）＋sinB．cos（B＋C）-cosAC．tanA＋B2·tanC2D．cosB＋C2·secA2
5化简
（1）sin（-1071°）·sin99°＋sin（-171°）·sin（-261°）
（2）1＋sin（a-2π）·sin（π＋a）-2cos2（-a）
6证明恒等式
sin（π-θ）cos（π＋θ）-11-2sin2θ=
tan（9π＋θ）＋1ctgπ2-θ-1
【参考答案】
1A；2D；3D；4C；5（1）0，（2）-cos2a；6左=-2sinθcosθ-1cos2θ-sin2θ=-（sinθ＋cosθ）2（cosθ＋sinθ）（cosθ-sinθ）
=sinθ＋cosθsinθ-cosθ=
tanθ＋1tanθ-1
=tanθ＋1ctgπ2-θ-1=右
【习题精选】
一、选择题
1若sin（180°＋a）＋cos（90°＋a）=-a，则cos（270°-a）＋2sin（360°-a）的值为A．-23aB．-32a
C．23aD．32a
2sin1140°cos（-675°）-sin（-420°）cos（-570°）的值等于A．6＋24B．6-34
C．6＋34
D．6-34
3在△ABC中，下列各表达式为常数的是A．sin（A＋B）＋sinCB．cos（B＋C）-cosAC．tanA＋B2tanC2
D．cosB＋C2secA2
4如果f（x＋π）=f（-x），且f（-x）=f（x），则f（x）可以是A．sin2xB．cosxC．sin|x|D．|sinx|5已知sina是方程6x=1-x的根，那么cos（α-5π）tan（2π-α）cos32π＋αctg（π-α）的值等于A．±520
B．±1515
C．-520
D．180
二、填空题
6计算sin（-1200°）cos1290°＋cos（-1020°）sin（-1050°）＋tan945°=
7已知cos（π＋a）=-35，3π2
＜a＜2π，则tanπ2-a=，ctg（2π-a）=
8若1-3cos（π-θ）cos（2π-θ），=29则。cos（3π-θ）=
9设f（x）=2cos3x＋sin2（360°-x）＋cos（360°-x）-32＋2cos2（180°＋x）＋cos（-x），则fπ3=
101-2sin1085°sin（-2075°）cos5°-1-sin295°=
三、解答题
11求值：
sin120°＋cos750°＋sin（690°）cos（-660°）＋tan675°＋ctg765°-tan1020°＋cos（-1230°）
12已知角a终边上一点A的坐标为（3，-1），（1）化简下列式子并求其值：sin（2π-a）tan（π＋a）ctg（-a-π）csc（-a）cos（π-a）tan（3π-a）；（2）求角a的集合13已知cos（a＋β）＋1=0，求证：sin（2a＋β）＋sinβ=0。
14若sin（3π＋θ），=lg1310
求cos（π＋θ）cosθcos（π-θ）-1＋cos（θ-2π）sinθ-3π2cos（θ-π）-sin3π2＋θ的值。
15已知A、B、C为△ABC的内角，求证：（1）cos（2A＋B＋C）=-cosA；（2）tanA＋B4=-tan3π＋C4
16已知a为锐角，并且2tan（π-a）-3cosπ2＋β＋5=0，tan（π＋a）＋6sin（π＋β）-1=0，求sina的值。
【参考答案】
一、选择题1B2D3C4D5A二、填空题627-34，34
8±934136
9-1210cos5°-sin5°
三、解答题
1133＋14
12（1）12；（2）a|a=-π6＋2kπ，k∈Z。
13提示：a＋β=π＋2kπ（k∈Z）。
1418提示：先化简，再将sinθ=13代入化简式即可。
15提示：注意A＋B＋C=π及其变式。
1631010。提示：化简已知条件，再消去sinβ得ctga=13。
