宋刘牧撰《易数钩隐图》，就《龙图》天地已合之数，虚其中，以上图为两仪，下图为四象，以为《河图》，其有五数及十数者为《洛书》。蔡元定则以第三图为《河图》，第四图为《洛书》。引关朗《易传》为证。《易传》曰：“《河图》之文，七前六后，八左九右。圣人观之以画卦。是故全七之三以为离，奇以为巽。全八之三以为震，奇以为艮。全六之三以为坎，奇以为乾。全九之三以为兑，奇以为坤。正者全其位，隅者尽其量。《洛书》之文，九前一后，三左七右；四前左，二前右，八后左，六后右。后圣稽之为三象：一、四、七为天生之数，二、五、八为地育之数，三、六、九为人资之数。”所谓则图画卦者，与刘牧之《四象生八卦图》合，宋时言《图》、《书》者，所由以《图》、《书》附合于《易》也。（刘氏曰：“水居坎而生乾，金居兑而生坤，火居离而生巽，木居震而生艮。”谓水数六，除三画为坎，余三画为干；金数九，除三画为兑，余六画为坤；火数七，除三画为离，余四画为巽；木数八，除三画为震，余五画为艮也。乾坤艮男，画数恰合，巧矣。然坎离震兑皆止三画，殊不可通）关朗易传，乃北宋阮逸所造伪书，见陈无己《后山丛谈》；实本诸刘牧，而又小变其说者，蔡氏为所欺也。
《东都事略·儒学传》谓：“陈抟读《易》，以数学授穆脩，脩以授种放，放授许坚，坚授范谔昌。”朱汉上《经筵表》谓：“陈抟以《先天图》传种放，放传穆脩，脩传李之才，之才传邵雍。（明道志康节墓，亦谓其学得之李挺之，挺之得之穆伯长）放以《河图》《洛书》传李溉，溉传许坚，坚传范谔昌，谔昌传刘牧。脩以《太极图》传周敦颐，敦颐传程颢、程颐。”晁公武《郡斋读书志》：“《易证坠简》一卷。天禧中，毗陵从事范谔昌撰。自谓其学出于湓浦李处约、庐陵许坚。”处约不知即溉否。然邵之学，出于《先天图》；刘牧之学，出于《河图》《洛书》；周子之学，出于《太极图》，则不可诬也。
南渡以后，精于数学者，莫如蔡西山父子。西山以十为《河图》（五行生成数），九为《洛书》（九官）。又谓“《河图》《洛书》虚其中为太极。奇耦各居二十（谓一、三、七、九，与二、四、六、八，相加皆为二十），则亦两仪。一、六为水，二、七为火，三、八为木，四、九为金，五、十为土，固《洪范》之五行，而五十有五，又九畴之子目也。（五行五，五事五，八政八，五纪五，皇极一，三德三，稽疑七，庶征十，福极十一）《洛书》一、二、三、四，而合九、八、七、六，纵横十五，而互为九、八、七、六，则亦四象也。四方之正，以为乾、坤、离、坎，四隅之偏；以为兑、震、巽、艮（此邵子先天方位），则亦八卦也。《洛书》固可以为《易》，《河图》固可以为《范》；且又安知《图》之不为《书》，《书》之不为《图》邪？”又曰：“太极者，象数未形，而其理已具之称；形器已具，而其理无朕之目。在《河图》《洛书》，皆虚中之象也。周子曰‘无极而太极’；邵子曰‘道为太极’，又曰‘心为太极’，此之谓也。太极之判，始生一奇一耦，而为一画者二，是为两仪。其数则阳一而阴二。在《河图》《洛书》，则奇耦是也。周子所谓太极动而生阳；动极而静，静而生阴；静极复动；一动一静，互为其根；分阴分阳，两仪立焉；邵子所谓一分为二者，皆谓此也。两仪之上，各生一奇一耦，而为二画者四，是为四象。其位则太阳一，少阴二，少阳三，太阴四；其数则太阳九，少阴八，少阳七，太阴六。以《河图》言之：则六者，一而得于五者也；七者，二而得于五者也；八者，三而得于五者也；九者，四而得于五者也。以《洛书》言之：则九者，十分一之余也；八者，十分二之余也；七者，十分三之余也；六者，十分四之余也。周子所谓水、火、木、金；邵子所谓二分为四者，皆谓此也。四象之上，各生一奇一耦，而为三画者八，于是三才略具，而有八卦之名矣。其位则乾一、兑二、离三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八。在《河图》：则乾、坤、离、坎，分居四实；兑、震、巽、艮，分居四虚。在《洛书》：则乾、坤、离、坎，分居四方；兑、震、巽、艮，分居四隅。《周礼》所谓三易经卦各八；大传所谓八卦成列；邵子所谓四分为八者，皆指此而言也。”（以上皆引《易学启蒙》。此书实西山所撰也）盖将先天、太极，及宋人所谓《河图》《洛书》者，通合为一矣。
西山于《洪范》之数，未及论著，皆以授九峰。九峰著《洪范皇极》，以九九之数为推。其言曰：“数始于一，参于三，究于九，成于八十一，备于六千五百六十一。八十一者，数之小成也；六千五百六十一者，数之大成也。天地之变化，人事之始终，古今之因革，莫不于是著焉。”又曰：“一变始之始，二变始之中，三变始之终。四变中之始，五变中之中，六变中之终。七变终之始，八变终之中，九变终之终。数以事立，亦以事终。”盖欲以数究万物之变者也。此等说，太觉空漠，无可征验，即无从评论其是非。然《洪范皇极》，颇多微妙之言。
《洪范皇极》曰：“有理斯有气，气著而理隐。有气斯有形，形著而气隐。人知形之数，而不知气之数；人知气之数，而不知理之数。知理之数则几矣。动静可求其端，阴阳可求其始。天地可求其初，万物可求其纪。鬼神知其所幽，礼乐知其所著。生知所来，死知所去。《易》曰：“穷神知化，德之盛也。”形者，已成之局。气者，形之原因。理又气之原因。数者，事之必然。知理之数，则形气自莫能外矣。故以为穷神知化也。又曰：“欲知道，不可以不知仁。欲知仁，不可以不知义。欲知义，不可以不知礼。欲知礼，不可以不知数。数者，礼之序也。知序则几矣。”仁义二者，仁为空名，义则所以行仁。礼之于义亦然。数者，礼之所以然也。知数，则所行之礼，皆不差忒；于仁义无遗憾，于道亦无不合矣。此说将仁、义、礼一以贯之，即所以使道与数合而为一也。
又曰：“数运无形而著有形。智者一之，愚者二焉。数之主生，化育流行。数之已定，物正性命。圆行方止，为物终始。随之而无其端也，迎之而无其原也。浑之惟一，析之无极。惟其无极，是以惟一。”此言原因结果之间，所以无毫厘差忒者，以其本是一体。惟本是一体，而分析特人所强为，故毫厘不得差忒。以其析之无穷，而仍毫厘不得差忒。可见其本是一体，而分析特人之所为也。
又曰：“数者，动而之乎静者也。象者，静而之乎动者也。动者，用之所以行。静者，体之所以立。用既为体，体复为用。体用相仍，此天地万物所以化生而无穷也。”此所谓静者，谓人所能认识之现象；动者，现象之所由成也。用既为体，体复为用，言现象皆有其所以然之原因；而此现象，复为他现象之原因也。
又曰：“顺数则知物之所始，逆数则知物之所终。数与物非二体也，始与终非二致也。大而天地，小而毫末；明而礼乐，幽而鬼神。知数即知物也，知始即知终也。九峰所谓数，即宇宙定律之谓。明乎宇宙定律，则于一切事物，无不通贯矣。故曰：‘物有其则，数者尽天下之物则；事有其理，数者尽天下之物理’也。”
以上所引，皆《洪范皇极》中精语。略举数条，不能尽也。然亦可见宋代理学家；其学虽或偏于术数，而其意恒在明理；其途径虽或借资异学，而多特有所见，不为成说所囿。后人訾囗之辞，实不尽可信也。
阳明之学
阳明之学，盖远承象山之绪。而其广大精微，又非象山所及。
一种哲学，必有其特异之宇宙观及人生观。此理前已言之。阳明之学，虽不能离乎宋儒，而别为一学；然以佛教譬之，固卓然立乎程朱之外，而自成一宗者矣。其宇宙观及人生观，果有以特异于程朱乎？曰：有。
宋学至朱子而集其大成。其异乎朱子者，如陆子，则当阳明时，其说不甚盛行。故朱子之学，在当时，实宋学之代表也。朱子以宇宙之间，有形迹可指目想象者，皆名为气；而别假设一所以然者，名之曰理。形迹之已然者，不能尽善；然追溯诸未然之时，固不能谓其必当如是。故以理为善，凡恶悉委诸气。本此以论人，则人人可以为善，而未必人人皆能为善。其可以为善者理，使之不能为善者气也。于是分性为义理、气质两端。义理之性，惟未生时有之；已堕形气之中，则无不杂以气质者。人欲为善，必须克去其气质之偏，使不为天理之累而后可。朱子论理气及人性之说如此。
阳明之说则不然。阳明以理、气为一，谓：“理者气之条理，气者理之运用。无条理固不能运用；无运用，亦无所谓条理矣。”然则所谓理与气者，明明由人之观念，析之为二，在彼则实为一物也。然则理不尽善，气亦不尽善乎？曰：不然。理者，气之流行而不失其则者也。春必继以夏，秋必继以冬，此即气之流行之则，即是理，纯粹至善者也。其流行之际，不能无偶然之失。则如冬而燠，夏而寒，是为愆阳伏阴。愆阳伏阴，卒归于太和。可见流行虽有偶差，主宰初未尝失。主宰之不失，即至善也（阳明门下，论理气合一最明白者，当推罗整庵。整庵之说曰：“通天地，亘古今，无非一气而已。气本一也，动静往来，阖辟升降，循环无已。积微而著，由著复微。为四时之温凉寒暑，为万物之生长收藏，为斯民之日用彝伦，为人事之成败得失。千条万绪，纷纭囗囗，而卒不克乱。莫知其所以然而然。是即所谓理也。初非别有一物，依于气而立，附于气以行。或因易有大极之说，乃疑阴阳之变易，类有一物主宰乎其间，是不然矣。”〇“理者气之条理”之说，虽畅发于阳明，实亦道原于宋儒。张子谓“虚空即气”，“天地之气，虽聚散攻取百途，然其为理也，顺而不妄”；程子谓“天地之化，一息不留。疑其速也，然寒暑之变甚渐”；朱子曰：“有个天理，便有个人欲。盖缘这天理有个安顿处。才安顿得不恰好，便有个人欲出来”，皆阳明之说之先河也）。
推此以论人，则气即心，理即性。心与性之不可歧而为二，犹理与气之不可歧而为二也。宇宙全体，无之非气，即无之非理。人禀气以生，即禀理以生也。人心千头万绪，感应纷纭而不昧。其感应，流行也；其不昧，主宰也。感应不能无失，犹气之流行，不能无愆阳伏阴。其终能觉悟其非，则即其主宰之不昧也。故理善气亦善，性善心亦善（上知下愚，所禀者同是一气。然一知一愚者，上知所禀之气清，下愚所禀之气浊也。同一气也，而有清浊之分，何也？曰：气不能无运行，运行则有偏胜杂糅之处。有偏胜杂糅，斯有清浊矣。然论其本，则同是一气。恶在偏胜杂糅，不在气也。故气不可谓之恶。故曰性善。〇宋儒以人之不善，归咎于气质。阳明则归咎于习。所谓习者，非有知识后始有，并非有生后始有，禀气时即有之。气之偏胜，即习之所从出也。如仁者易贪，知者易诈，勇者易暴。其仁即圣人之仁，其知即圣人之知，其勇即圣人之勇；以其所禀者，与圣人同是一气也。其所以流于贪、诈、暴者，则以其气有偏胜故。此当学以变化之。惟虽有偏胜，而其本质仍善，故可变化。若其质本恶，则不可变矣。阳明之说如此，实亦自宋儒之说一转手耳。〇失在流行，不在本体，故只有过不及，无恶）。
气之流行而不失其则者，理也；心之感应而不昧其常者，性也。理与气非二，则性与心非二。欲知气之善，观其流行而不失其则，则知之矣；欲求心之善，于其感应之间，常勿失其主宰，即得之矣。此主宰，即阳明之所谓知也。而致良知之说以立。
夫谓良知即人心之主宰者，何也？阳明以天地万物为一体。其言曰：“自其形体而言谓之天。自其主宰而言谓之帝。自其流行而言谓之命。自其赋于人而言谓之性。自其主于身而言谓之心。心之发谓之意。意之体谓之知。其所在谓之物。”盖宇宙之间，本无二物。我之所禀以生者，即宇宙之一部分；其原质，与天地万物无不同。（故曰：人与天地万物一体，非以天地万物为一体也。阳明之言曰：“人的良知，就是草木瓦石的良知。岂惟草木瓦石，天地无人的良知，亦不可为天地矣。盖天地万物，与人原是一体。其发窍之最精处，是人心一点灵明。故五谷禽兽之类，皆可以养人；药石之类，皆可以疗疾。只为同此一气，故能相通耳。”钱绪山曰：“天地间只有此知。天只此知之虚明；地只此知之凝聚；鬼神只此知之妙用；日月只此知之流行；人与万物，只此知之合散；而人只此知之精粹也。此知运行，万古有定体，故曰太极。无声臭可即，故曰无极。”欧阳南野曰：“道塞乎天地之间，所谓阴阳不测之神也。神凝而成形，神发而为知。知也者，神之所为也。神无方无体。其在人，为视听，为言动，为喜怒哀乐。其在天地万物，则发育峻极。故人之喜怒哀乐，与天地万物，周流贯彻，而无彼此之间”云云。阳明之学，于一元之论，可谓发挥尽致矣）而此原质，自有其发窍最精之处。此处即我之心。心也，意也，知也，同物而异名。故用力于知即用力于心。而用力于心，即用力于造成我之物质发窍最精之处也。此致良知之说所由来也。
