正弦函数、余弦函数的图像和性质
【教学目标】
1.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像；2.了解周期函数与最小正周期的意义，会求y=Asin（ωx＋ψ）的周期，了解奇偶函数的意义，能判断函数的奇偶性；3.通过正弦、余弦函数图像理解正弦函数、余弦函数的性质，培养学生的数形结合的能力；4.简化正弦、余弦函数的绘制过程，会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx＋ψ）的简图；5.通过本节的学习培养学生的化归能力、转化思想。
【教学建议】
知识结构
重点与难点分析
本节重点是正弦函数、余弦函数的图像形状及其主要性质（定义域、值域、最值、周期性、奇偶性、单调性）。正弦、余弦函数在实际生活中应用十分广泛，函数的图像和性质是应用的重要基础，也是解决三角函数的综合问题的基础，它能较好的综合三角变换的所有内容，可进一步深入研究其它函数的相关性质。函数图像可以直观的反映函数的性质，因此首先要掌握好函数图像形状特点，使学生将数、形结合对照掌握这两个函数。
本节难点是利用正弦线画出函数y=sinx，x∈[0，2π］的图像，利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，周期函数与最小正周期意义的理解。利用几何法画函数图像学生第一次接触，要先复习正弦线的做法，另外注意讲清正弦线平移后在x轴上对应的角。通过诱导公式可以将正弦、余弦函数建立起关系，利用诱导公式时先将cosx=cos（-x）为了只需要平移就可得到余弦函数。周期函数包含的内容较多，可以先让学生通过正弦、余弦函数图像直观上了解，再通过定义严格说明，定义中x的任意性可与奇偶性的定义对比讲解，周期、最小正周期的概念很抽象，学生理解有些困难，最好将定义分解讲解。
【教法建议】
1讲三角函数图像时，由于描点法学生比较熟悉，可以先让学生自己作图，然后介绍几何法，这样既可以让学生对正弦函数图像大致形状有所了解，为后面“五点法”作图奠定基础，又可将两种方法加以对比。
2用几何法作函数y=sinx，x∈[0，2π］的图像前，首先复习函数线的作法，说明单位圆上的角与x轴上数值的对应关系，作图过程要力求准确，以便学生正确认识曲线的建立过程。此处最好借助多媒体课件演示，表现的既准确又节省时间。得到函数y=sinx，x∈[0，2π］的图像，利用诱导公式或利用三角函数线，把图像沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π（即一个最小正周期），即可得到函数y=sinx，x∈R的图像。余弦函数的图像可以利用诱导公式将余弦与正弦建立联系，但要将x前面的系数保证为正，这样只需要平移即可得到余弦函数的图像。余弦函数的图像的几何作法可让学生课后自己去探索。
3“五点法”作图在三角函数中应用较为广泛，让学生观察函数y=sinx，x∈[0，2π］的图像，有五个点在确定图像形状时起着关键的作用，即最高点，最低点以及与x轴的交点，因为只要这五个点描出后，图像的形状就基本确定了。因此在精确度要求不太高时，常采用先描出这五个点来作函数简图的方法。适当增加些练习使学生熟练掌握这种方法。
如果函数f（x）对于定义域里的每一个值，都有（1）f（-x）=f（x），那么f（x）叫做偶函数；（2）f（-x）=-f（x），那么f（x）叫做奇函数；（3）f（x＋T）=f（x），其中T是不为零的常数，那么f（x）叫做周期函数。
对y=Asin（αx＋φ）函数的周期，要让学生从周期定义上理解：周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个数，这个数是针对x而言的，如果对2x而言，而每增加2π，sin2x的值就重复出现；但对自变量x而言，每增加π，sin2x的值就能重复出现，因此sin2x的周期是π。如果不设辅助未知数，本例的解答可写为：f（x）=sin2x=sin（2x＋2π）=sin2（x＋π）=f（x＋π），即f（x）中的x以x＋π代替，函数值不变，所以sin2x的周期为π。由此可知，三角函数的周期与自变量x的系数有关。
图1
5让学生通过函数图像总结归纳函数的性质定义域、值域、极值、符号、周期性、奇偶性、单调性等，最好以表格的形式将正弦、余弦函数的性质对比得出，使学生在函数图像和性质建立对应关系，这对学生进一步掌握函数y=sinx，y=cosx的性质有很大帮助。因此应要求学生首先要熟悉正弦曲线和余弦曲线。
6要注意数学语言和数学方法的训练，如“必须并且只需”，正弦函数在每一个闭区间[-π2＋2kπ，π2＋2kπ］（k∈Z）上都是增函数，其值从-1增大到1等。
【教学设计示例】
正弦函数、余弦函数的图像和性质（第一课时）
学具准备
直尺、圆规、投影仪。
教学目标
1了解作正、余弦函数图像的四种常见方法。
2掌握五点作图法，并会用此方法作出[0，2π］上的正弦曲线、余弦曲线。
3会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像。
教学过程（可用课件辅助教学）
设置情境
引进弧度制以后，f（x）=sinx就可以看做是定义域为（-∞，＋∞）的实变量函数。作为函数，我们首先要关注其图像特征。本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方法。
探索研究
（1）复习正弦线、余弦线的概念
前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法，请同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？（师画图1）
设任意角α的终边与单位圆相交于点P（x，y），过点作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线。
（2）在直角坐标系中如何作点（α，sinα）
由单位圆中的正弦线知识，我们只要已知一个角α的大小，就能用几何方法作出对应的正弦值sinα的大小来，请同学们思考一下，如何用几何方法在直角坐标系中作出点Cπ3，sinπ3？
教师引导学生用图2的方法画出点C。
我们能否借助上面作点C的方法在直角坐标系中作出正弦函数y=sinx，x∈R的图像呢？
图2
①用几何方法作y=sinx，x∈（0，2π）的图像我们知道，作函数的图像的步骤是：列表、描点、连结；如果我们用列表法得出各点的坐标，就会因各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确，使得描点后画出的图像误差也大，为克服这一不足，我们用前面作点Cπ3，sinπ3的几何方法来描点，从而使图像的精确度有了提高。
（边画图边讲解），我们先作y=sinx在[0，2π］上的图像，具体分为如下五个步骤：a．作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧画单位圆。
b．把单位圆分成12等份（等份越多，画出的图像越精确）。过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π2，……，2π角的正弦线。
c．找横坐标：把x轴上从0到2π（2π≈6.18）这一段分成12等分。
d．找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应的12个点。
e．连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，即得y=sinx，x∈[0，2π］的图像。
②作正弦曲线y=sinx，x∈R的图像。
图为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数y=sinx，x∈[2kπ，2（k＋1）π）］k∈Z，且k≠0的图像与函数y=sinx，x∈[0，2π］的图像的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数y=sinx，x∈[0，2π］的图像向左、右平移（每次2π个单位长度），就可以得到正弦函数y=sinx，x∈R的图像，如图1。
图1
正弦函数y=sinx，x∈R的图像叫做正弦曲线。
③五点法作y=sinx，x∈[0，2π］的简图师：在作正弦函数y=sinx，x∈[0，2π］的图像时，我们描述了12个点，但其中起关键作用的是函数y=sinx，x∈[0，2π］与x轴的交点及最高点和最低点这五个点，你能依次说出它们的坐标吗？
生：（0，0），π2，1（π，0）
，2π3，-1，（2π，0）
师：事实上，只要指出这五个点，y=sinx，x∈[0，2π］的图像的形状就基本确定了，以后我们常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图。
④用变换法作余弦函数y=cosx，x∈R的图像因为y=cosx=cos（-x）=sinπ2-（-x）=sinx＋π2，所以y=cosx，x∈R与y=sinx＋π2是同一个函数，即余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移π2个长度单位角得到，余弦函数的图像叫做余弦曲线，如图2，师：请同学们说出在函数y=cosx，x∈[0，2π］的图像上，起关键作用的五个点的坐标。
图2
生：（0，1），π2，0，（π，-1），3π2，0，（2π，1）
例题分析
例1画出下列函数的简图：
（1）y=1＋sinx，x∈[0，2π］；（2）y=-cosx，x∈[0，2π］。
解：（1）按五个关键点列表
x0π2π3π22π
sinx010-10
1＋sinx12101
利用五点法作出简图3
图3
师：请说出函数y=1＋sinx与y=sinx的图像之间有何联系？
生：函数y=1＋sinx，x∈[0，2π］的图像可由y=sinx，x∈[0，2π］的图像向上平移1个单位得到。
（2）按五个关键点列表
x0π2π3π22πcosx10－101
-cosx－1010－1
利用五点法作出简图4
图4
师：y=cosx，x∈[0，2π］与y=-cosx，x∈[0，2π］的图像有何联系？
生：它们的图像关于x轴对称。
练习：
（1）说出f（x）=sinx，x∈[0，2π］的单调区间；（2）说出f（x）=-cosx，x∈[-π，π］的奇偶性。
【参考答案】
（1）由f（x）=-cosx，x∈[0、2π］图像知、0，π2，3π2，2π为其单调递增区间，π2，3π2为其单调递减区间（2）由f（x）=-cosx，x∈[-π，π］图像知f（x）是偶函数。
【总结提练】
（1）本课介绍了四种作y=sinx，y=cosx图像的方法，其中五点作图法最常用，要牢记五个关键点的选取特点。
（2）用平移诱变法，由y=sinxy=cosx这不是新问题，在函数一章学习平移作图时，就使用过，请同学们作比较。应该说明的是由y=sinxy=cosx平移量是不惟一的，方向也可左可右。
演练反馈
（1）在同一直角坐标系下，用五点法分别作出下列函数的图像①y=sinx，x∈[-π，π］②y=cosx，x∈-π2，3π2
（2）观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的x的区间①sinx＞0，②sinx＜0，
③cosx＞0，
④cosx＜0
（3）画出下列函数的简图
①y=-sinx，x∈[0，2π］
②y=1＋cosx，x∈[0，2π］
③y=2sinx，x∈[0，2π］
【参考答案】
（1）
（2）①（2kπ，（2k＋1）π），k∈Z，②（（2k-1）π，2kπ），k∈Z，③2kπ-π2，2kπ＋π2k∈Z
④2kπ＋π2，2kπ＋3π2k∈Z
（3）
板书设计
课题
1正、余弦函数线5.变换法作y-cosx2作点（α，sinα）6五点法作余弦函数图像总结提炼3作y=sinx，x∈[0，2π］的图像7例题（1）
4五点法作正弦函数图像（2）演练反馈
正弦函数、余弦函数的图像和性质（第二课时）
教学具准备
直尺，投影仪。
教学目标
1掌握y=sinx，y=cosx的定义域、值域、最值、单调区间。
2会求含有sinx、cosx的三角式的定义域。
教学过程
设置情境
研究函数就是要讨论一些性质，y=sinx，y=cosx是函数，我们当然也要探讨它的一些属性。本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数的最基本的两条性质。
探索研究
师：同学们回想一下，研究一个函数常要研究它的哪些性质？
生：定义域、值域，单调性、奇偶性、等等。
师：很好，今天我们就来探索y=sinx，y=cosx两条最基本的性质——定义域、值域。（板书课题正、余弦函数的定义域、值域。）
师：请同学看投影，大家仔细观察一下正弦、余弦曲线的图像。
师：请同学思考以下几个问题：
（1）正弦、余弦函数的定义域是什么？
（2）正弦、余弦函数的值域是什么？
（3）他们最值情况如何？
（4）他们的正负值区间如何分？
（5）f（x）=0的解集如何？
师生一起归纳得出：
（1）正弦函数、余弦函数的定义域都是x∈R。
（2）正弦函数、余弦函数的值域都是[-1，1］即|sinx|≤1，|cosx|≤1，称为正弦函数、余弦函数的有界性。
