“七国雌雄犹未分，攻城杀将何纷纷。”王维的这两句诗，可以概括战国时期诸侯之间连年不断的战争。在大大小小的战争中，有许多以弱胜强的战例。战国中期，齐魏两国的马陵之战就是其中之一。魏惠王26年（公元前344年），魏国派庞涓为大将，率大军进攻韩国。韩国向齐国求救。齐国派田忌为大将，孙膑为军师，率兵前往救援。孙膑再一次使用了“围魏救赵”的计策，不直接出兵韩国，却驱军直逼魏国的都城大梁（今河南开封）。魏惠王派太子申和庞涓为将，率十万大军回师迎战齐军。孙膑又用了一个“增兵减灶”的计策，在齐军进入魏国的第一天，在宿营地造了10万个灶，第二天减到5万个，第三天又减到3万个。庞涓一路追来，看到这种现象，心中暗喜。断定齐军入魏以后，部队严重减员，损耗过半。寻思必须乘势追击，于是丢下步兵，只带轻骑精锐兼程追赶，于当天傍晚追到马陵。马陵地势险要，道路狭窄，齐军早在此设下埋伏。庞涓遭到伏击，众寡悬殊，全军覆没。庞涓也因兵败计穷，自刎而死，齐军大获全胜，韩国之围自解。
也许我们会认为庞涓实在太愚蠢了，怎么能根据灶的减少来判断齐军人数的减少呢？其实，在正常的情况下，庞涓所用的方法是很正确的。在通讯技术很落后的古代，要了解敌军的情报是十分困难的。庞涓不可能直接去清点齐军的人数，但却可以通过计算齐军遗留下的灶数来估算出齐军的人数。例如，若一口灶大致供10人造饭，那么10万灶就约有军队100万人。庞涓的悲剧在于不知是计，因而酿成大错。
不过，历史的记载值得怀疑：孙膑第一天造了10万个灶，每口灶即使只供10人造饭，齐军也有100万之众，这是不可能的。如果不是史书的夸张而是当时的实情，庞涓早应该引起警惕，想到其中有诈，不宜轻易追击。退一万步说，即使齐军每天都严重减员，但最后既然还有3万灶，即使每灶只供5人造饭，也还有15万人，兵力远多于庞涓。《孙子兵法》云：“十则围之，五则攻之。”当自己的兵力10倍于敌时，才可以包围敌军；当自己的兵力5倍于敌时，才可以追击敌军。现在庞涓的兵力少于敌军，却冒进穷追，其败实在是必然的。庞涓身为大将，身经百战，且与孙膑同出名师门下，不应该不了解这一点吧！
如果不以成败论英雄的话，平心而论，庞涓通过计算齐军的灶数来估计齐军的人数，正是运用了数学中一个很重要的方法——配对原理，数学中在计算某一集合中元素的个数时，最常用、最有效的一个方法就是像庞涓那样，通过“映射”来间接计算。
如图29所示，设f是集合A到集合B的一个“一一对应”，则集合A与集合B的元素个数是相同的。如图30所示，f虽然不是A到B的一一对应，但A中每3个元素恰好对应B中一个元素，因而易知A中的元素个数是B中元素个数的3倍，这种映射称为倍数映射。
如果我们要直接计数集合A中元素的个数有困难时，但却可以找到另外一个集合B，A与B之间可以建立一一映射或倍数映射，并且B的元素个数容易计算，则可以转而计算B的元素个数。利用对应原理，特别是一一对应的原理，在日常生活中也是常见的。例如，我们常说的“一个钉子一个眼，一个萝卜一个坑”，就是一一对应的思想。假如一个农民地里的萝卜被人拔走了，他无法清点拔掉了多少萝卜，但只要数一数地里留下的萝卜坑就知道了。
下面，我们来看几个实际计算的例子：
（一）如图31所示，有8个城市呈环状排列，每两个城市之间都有一条公路相连，已知任何三条公路都不交汇于一处。现在要在每两条公路的交汇处建一座立交桥，需要建多少座立交桥。
用A，B，C，D，E，F，G，H8个点代表8座城市，得到一个八边形，这个八边形每两条对角线的交点要建立一座立交桥。
每一座立交桥都对应两条公路，每两条公路对应着4个城市。反过来也一样。例如，立交桥P对应两条公路BF和EH，而BF和EH这两条公路对应着4个城市B，E，F，H。
P→（BF，EH）→（B，E，F，H）
反过来，则有
（B，E，F，H）→（BF，EH）→P
由此可知，立交桥的集合A可与4城市组的集合B之间建立一一对应。因为8个城市每次取4个城市的组合数为C48=8×7×6×54×3×2×1=70所以一共要建70座立交桥。
（二）如图32所示，当我们取一个边长为3的正方体，将它横切两刀，纵切两刀，竖切两刀，可以切成27个边长为1的单位正方体。如果允许你把每次切出的小块任意叠起来切，你能否不用6刀（例如5刀或更少）就得出27个单位立方体呢？
你也许会动手试一试看，但结果肯定不会成功。为什么呢？问题的关键在于位于中心的那个小立方体。那个小立方体有6个面，不管你怎么切，每切一刀只能使它的一个面“曝光”。因此，切的刀数与中心那个立方体的面数之间可建立一种映射（一一对应）关系。所以，一定要用6刀才能切出27个单位立方体。
（三）有100名运动员参加乒乓球比赛，比赛采用淘汰制。将运动员两两分组进行比赛，败者被淘汰，胜者进入下一轮。如遇到运动员为单数，则令一个人轮空直接进入下一轮。最后决出冠军，问一共要进行多少场比赛！
这是一道很简单的数学题，小学生都会解答，但他们可能这样来计算：第一轮100人分成50组，赛50场；第二轮50人分成25组，赛25场；第三轮25人分成12组，一人轮空，赛12场；第四轮13人分成6组，一人轮空，赛6场；第五轮7人分成3组，一人轮空，赛3场；第六轮4人分成2组，赛2场第七轮剩下2人进行一场比赛决出冠军，因此，总的比赛场数是：50＋25＋12＋6＋3＋2＋1=99，这是一种不高明的算法，当参赛人数很多时，计算十分麻烦。特别是如果参赛人数是一般的n时，则无法按这个方法计算。
对这个问题可以有许多不同的算法。
体育部门实际安排比赛时，是按2的乘幂来进行的。如果一开始共有n=2m名运动员，则在每一轮比赛中都不会出现轮空，而且每一轮比赛的场数都是2的乘幂：第一轮2m-1场，第二轮2m-2场，……2场，1场。因此比赛的总场数是：2m-1＋2m-2＋…＋22＋2＋1=2m-1=n-1，可见，当最初参赛人数为n=2m的特殊情况时，比赛场数为n-1．现在转到一般的情况，如果n不是2的乘幂，则n＞2，必定有正整数m和r存在，使n=2m＋r＜2m＋1，那么，只要在第一轮中安排r场比赛，其余的人都轮空。第一轮淘汰了r人后，剩下的2m人要进行2m-1场比赛，因此比赛的场数是2m-1＋r＝（2m＋r）-1＝n-1，另一种方法是利用数学归纳法。当参赛人数n=2，3，4时，由图33可知，分别要比赛1，2，3场。
因此，我们猜想对于n个人要比赛n-1场。
归纳假定k个人要赛k-1场，则有k＋1个人时，在赛完第一场后，就只剩k人了，根据归纳假定，k个人要赛k-1场，所以k＋1个人要赛k场。
根据数学归纳法原理，猜想是正确的。即有n个人参赛时，要赛n-1场。
类似地还可以用递推思想来解问题：假设n个人参赛时需要进行an场比赛。当比赛完第一场后，就剩下n-1个人，还需要再进行an-1场比赛。同样地，n-1个人赛一场之后，需要再进行an-2场比赛。因此有an=an-1＋1＝（an-2＋1）＋1＝an-2＋2＝…
=a2＋（n-2）
显然，只有两人参赛时a2=1。所以an＝1＋（n-2）＝n-1。
最后，我们再看一种解法。因为每一场比赛都淘汰一名运动员，反之，每一名被淘汰的运动员都只在一场比赛中被淘汰。这就是说，比赛场次与被淘汰的运动员之间有一一对应的关系。如果最初有n名运动员参加比赛，因冠军只有1人，其余的n-1名运动员都被淘汰。所以，比赛恰好要进行n-1场。
最后一种解法不但无须作任何计算，而且具有更深刻、更本质的意义。它说明映射在计数中的重要作用。
