数的家族成员
1，2，3，……；12，45，7916-3，-8-11，……；2，π，e，……。
这各种各样的数，都有自己的“身份”，它们共同组成数的家族。
第一组成员是自然数。小时扳手指头数地的1，2，3……就是自然数。这也是我闪祖先最早认识的数，自然数称为正整数。
第二组成员是分数。5个人分3个苹果，古人最初是这样做的：把一个苹果分成相同的五份，每人取一份，即15，对另两个苹果做同样的分配，最后每人得到3个15，这就是我们所说的35。分数的记载最先出现在距今四千多年的古埃及纸草书中。
零的出现是比较晚的，从“无”到“零”的认识是一个漫长的过程。据说公元前二百年，希腊人已有零号的记载，但真正把零当作一个独立的数来使用是公元9世纪由印度人做出的。
负数在中国的西汉时期（约公元前2世纪）已经萌牙，并最先作为数学的研究对象出现在公元1世纪的《九章算术》中。
正整数（自然数）、零和负整数就构成全体整数。正分数和负分数构成全体分数。
整数和分数构成了有理数。当然，广义的分数中已经包括了整数，因为可以把整数看成分母是1的分数。
每个有理数都可以表示成两个整数的比。但是，公元前5世纪希腊数学家发现2不可能表示成两个整数之比，因而引起了一场极大的风波。后来把不能表示成两个整数之比的数称为无理数。现在我们知道无理数比有理数要多得多。
有理数和无理数统称为实数。在实数范围内，方程x2+1=0是无解的。于是，科学家引入了+bi的数就称为复数，而i=称为虚数单位。
除此之外，还有新的数。如果学习高等数学，会遇到四元数、各种超复数，以及类似的数学对象。随着数学的发展，数的家族将不断增加新的成员。
0的意思
0，通常表示什么也没有。但实际上零表示的意义非常丰富。
0不但可以表示没有，也可以表示有。电台、电视里报告气温是0℃，并不是指没有温度，而是相当于华氏表32度，这也是冰点的温度。0还可以表示起点，如发射导弹时的口令是：“9，8，7，6，5，4，3，2，1，0——发射”。0在数轴上作为原点，也是起点的意思。0还可以表示精确度。如在近似计算中，7.5与7.50表示精确程度不同。
在实数中，0又是正数与负数间的惟一中性数，具备下面一些运算性质：
a+0=0+a=a.a-0=a. 0-a=-a.0×a=a×0=0，y0÷a=0，（a≠0）0不能作除数，0也没有倒数；0的绝对值和相反数都是0；任意多个0相加和相乘都等于0。
在指数和阶乘运算中，还有：a°=1（其中a≠0），0！=1。
0在复数中，是惟一辐角没有定义的复数。0还没有对数。现代电子计算机用的二进制中，0还是一个基本数码。
在0发明之前，我们祖先记数的方法是繁琐而不完善的，要记一个大数就要将某些符号重写多次。在采用了印度一阿拉伯数码，而没有用0这个符号时，前人将一百万、三万、四百、五这几个数之和表示为：1345，这种表示就会产生误解，或是一百零三万四百零五，或是一千三百四十五。于是用打格的办法来区分：
1345空的地方表示空位。但这又使运算变得很麻烦。采用0后，就可以简洁地写成：1030405。因此，没有采用0之前，可以说记数法是不完整的。
0是数学中最有用的符号之一，但它的发明是来之不易的。古埃及虽建造了宏伟的金字塔，但不会使用0；巴比伦人发明了楔形文字，也不会使用0；中国古代用筹运算时，怕定位发生错误，开始用□代表空位，为书写方便逐渐写成○。公元2世纪希腊人在天文学上用○表示空位，但不普遍。比较公认的是印度人在公元6世纪最早用黑点（·）表示零，后来逐渐变成了0。
分数的妙用
有一位阿拉伯老人，生前养有11匹马，他去世前立下遗嘱：大儿子、二儿子、小儿子分别继承遗产的12、14、16。
儿子们想来想去没法分：他们所得到的都不是整数，即分别为112、114和116，总不能把一匹马割成几块来分吧？聪明的邻居牵来了自己的1匹马，对他们说：“你们看，现在有12匹马了，老大得12匹的1〖〗2就是6匹，老二得12匹的14就是3匹，老三得12匹的16就是2匹，还剩一匹我照旧牵回家去。”这样把难分的问题解决了。
分数起源于“分”。在原始社会，人们集体劳动，要平均分配果实和猎物，逐渐有了分数的概念。以后在土地计算、土木建筑、水利工程等测量过程中，当所用的长度单位不能量尽量线段时，便产生了分数。
人们从认识分数到研究分数，是从单位分数开始的。单位分数就是形如1n（n是不等于1的自然数）的分数。在3700多年前埃及的纸草书上，已经认识到：所有分子为2、分母为2n+1（n为2到49的自然数）的分数，可以分解为一些不相同的单位分数之和。如：
27=14+128，297=156+1679+1776而通过这种表示法可以进行任何分数运算。如：
521=121+221+221=121+114+142+114+142=121+214+242=121+17+121=17+221=17+114+142巴比伦人也使用六十进位的分数，即分母是60、602、603的分数。在很长一段时间内，欧洲人将分数运算视为畏途。
中国是世界上较早对一般分数进行研究的国家。公元前5世纪的《考工记》中，就有“十分寸之一为一枚”的记载，即110寸等于1分。西汉时期《周髀算经》中，已经有了更复杂的分数的分数运算。公元1世纪（东汉时期）的数学专著《九章算术》中，专列“方田”一章，介绍通分、约分、比较分数大小的方法，以及有关加、减、乘、除运算的法则。这些知识与现代采用的方法基本相同，比印度领先500多年，比欧洲早1400多年。
小数的经历
有了小数之后，记数就更方便了。如圆周率近似值3.1416，若用分数表示，就得写成39271250，很麻烦，何况还有更多位的小数和更复杂的运算。有位著名的美国数学史家说：“近代计算的奇迹这般的动力来自三项发明，印度记数法、十进分数和对数。”这里所说的十进分数就是指小数。
在西方，一般认为小数是比利时数学家斯蒂文发明的。但最早使用现代意义的小数点的是德国数学家克拉维斯，他在1593年使用了小数点。但是直到19世纪末，小数的记号仍很混乱。就是在现代，小数点也分为欧洲大陆派和英美派两种记法，前者采用逗号“，”，后者则坚持用圆点“.”。
实际上，早在斯蒂文发明小数点之前很久，中国、印度和中亚就已经使用十进分数了，也即小数。
公元3世纪，我国魏晋时期刘徽的《九章算术注》中，有三处运用了十进分数的思想。到了南北朝时期，在历法中大量使用了下列记法：
十一万八千二百九十六二十五（11896.25）八十九三（98.3）百一十九119.12这种写法和西方直到19世纪仍在流行的小数记法2.5或2.5，几乎是完全相同的。
到了宋元时期，更有下列记法：
（324506，1247年）（0.25，1247年）（-0.5，1248年）这些记法都远远胜过三百多年后斯蒂文的记法。
中亚的阿尔卡西是世界上除中国人之外第一个应用十进分数的。他的用法体现在他1427年的《算术之钥》一书中。
不论在东方还是西方，对小数的认识都经过了几百年甚至上千年的演变。
负数的引入
今天人们都能用正负数来表示相反意义的两种量。例如若以海平面为0点，世界上最高的珠穆朗玛峰的高度为+8848米，世界上最深的马里亚纳海沟深为-11034米。在日常生活中，则用“+”表示收入，“-”表示支出。可是在历史上，负数的引入却经历了漫长而曲折的道路。
古代人在实践活动中遇到了一些问题：若相互间借用东西，对借出方和借入方来说，同一样的东西具有不同的意义。分配物品时，有时暂时不够，就要欠某个成员一定数量。再如，从一个地方，两个骑者同时向相反的方向奔驰，离开出发点的距离即使相同，但两者又有不同的意义。久而久之，古代人意识到仅用数量来表示一事物是不全面的，似乎还应加上表示方向的符号。为了表示具有相反意义的量和解决被减数小于减数等问题，逐渐产生了负数。
中国是世界上最早认识和应用负数的国家。早在二千年前的《九章算术》中，就有了以卖出粮食的数目为正（可收钱），买入粮食的数目为负（要付钱）以入仓为正、出仓为负的思想。这些思想，西方要迟于中国八九百才出现。
虚数
“虚数”这个名词，听起来好像“虚”，实际上却非常“实”。
虚数是在解方程时产生的。求解方程时，常常需要将数开平方。如果被开方数不是负数，可以算出要求的根；如果是负数怎么办呢？
譬如，方程x2+1=0，则x2=-1，x=±-1。那么-1有没有意义呢？在很久之前，大多数数学家认为负数没有平方根。到了16世纪中叶，意大利数学家卡尔丹发表了《大法》这一数学著作，介绍了三次方程的求根公式。他不仅讨论了正根和负根，还讨论了虚数根。如解x3-15x+4=0这一方程时，依据他的求根公式，会得到：
x=-2+-121其中-121就是负数的平方根。卡尔丹写出了负数的平方根，但他认为这也仅仅是形式表式表示而已。说明他对负数平方根的性质并不了解。1637年，法国数学家笛卡尔开始用“实数”、“虚数”两个名词。1777年，瑞士数学家欧拉开始用符号i=-1表示虚数的单位。而后人将实和虚数结合起来，写成a+bi形式（a、b为实数），称为复数。
由于虚数闯进数学领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎也没有用复数来表达的量，因此，在很长一段时间里，人们对虚数产生了种种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”的本意是指它是虚假的；莱布尼兹在公元18世纪初则认为：“虚数是美妙而奇异的神秘隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物”。欧拉尽管在许多地方用了虚数，但又说一切形如-1、-2的数学式都是不可能有的，纯属虚幻的。
欧拉之后，挪威一个测量学家维塞尔，提出把复数a+bi用平面上的点（a，b）来表示。后来，高斯提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复数的应用开辟了道路。现在，复数一般用来表示向量（有方向的数量），这在水力学、地图学、航空学中的应用是十分广泛的。虚数越来越显示出其丰富的内容，真是：虚数不虚！
无限大与无限小
人们一般碰到的数，无论是实数还是复数，都有确定的量值，换句话说是有限的。这反映了我们通常碰到的事物是有限的，总可以用这些数计量。
人类的长期的认识过程中，又逐渐产生两个新的概念。最早的时候，人们将整个宇宙理解为地球，航海学的测量又测得地球半径为6370公里，对人们来说，那是一个非常大的数。16世纪，哥白尼的“日心说”又将宇宙扩大到以太阳为中心的太阳系，太阳系的半径为60亿公里，约是地球半径的94万倍，地球与之相比只是沧海一粟了。18世纪，人们的视野扩展到银河系，银河系的直径相当于9.3312×1017公里，这个数字更是大得惊人。随着科学技术的发展，人们借助射电望远镜，又将宇宙范围扩展到星系团、超星系团，以至总星系。这些星系的半径都在数百万光年（光年即光走一年的路程，约9.3312×1017公里）以上，这个数字简直是无法把握的。总星系之上当然还有更大的宇宙，永远不会穷尽。这样就出现了无限大的概念，数学上记为∞。它的含义是比任何数都大的数，这个数当然是虚拟的，不是一个确定的数。
在微观世界，人类的认识也从分子认识到原子，从原子认识到原子核。原子核的直径约10-13厘米，原子核还可以分解为质子、中子，它们的直径更小。这一分解过程也可以无穷尽地进行下去。这样就带来了无限小的概念。
无限大、无限小的含义已经涉及数的变化趋势了，这是从确定量到变量的过渡中产生的数，是微积分的基础。
将循环小数化成分数
将循环小数化成分数，是解决有关循环小数的基本方法。怎样才能将循环小数化成分数呢？
这要请我们的老朋友——9来帮助解决问题。我们知道，在数列计算中，有一个无穷等比数列的求和公式s＝a1-q。其中a是这个数列的第一项，q是公比。下面要用这个公式来研究化循环小数为分数的方法。先观察下面两个循环小数：0.666……＝0.6，0.242424……＝0.24。它们都是从小数点后的第一位开始循环的，叫做纯循环小数。为了便于计算，先将它们写成分数的和的形式：
0.666……＝0.6+0.06+0.006+……＝610+6100+61000+610000+……0.242424……＝0.24+0.0024+0.000024+……＝24100+241000+241000000+……这就变成了无穷递缩等比数列的形式。0.6666……的公比是110，而0.242424……的公比是1100。根据求和公式得：
0.66……＝6101-110＝610-1＝69，0.2424……＝241001-1100＝24100-1＝2499。
由此可以看出，要把纯循环小数化为分数，只要把一个循环节的数化为分子，让分母由9组成，循环节有几位数字，分母是几个9就行了。例如：
0.4444……＝0.4＝490.5656……＝0.56＝5699，0.31233123……＝0.3123＝31239999＝3471111。
下面再来看看以下两个循环小数：
0.2888……＝0.28，0.3545454……＝0.354它们都不是从小数点的第一位开始循环的，这叫混循环小数。用分数的和可表示为：
0.2888……＝210+8100+81000+810000+……，0.35454……＝310+541000+54100000+……。
这种和的形式，从第二项起，构成了一个分别以110，1100为公比的无穷递缩等比数列。由求和公式得：
0.2888……＝210+81001-110＝210+8100-10＝210+890＝2×9+890＝26〖〗90＝1345。
0.35454……＝310+5410001-1100＝310+541000-10＝310+54990＝3×99+54900＝351990＝39110。
由此可以看出：把混循环小数化为分数，先去掉小数点，再用第二个循环节以前的数字减去不循环部分的数字，将得到的差作为分子；分母由9和0组成，9的个数等于一个循环节的位数，9的后面写0，0的个数等于不循环部分的位数。例如：
0.2777……＝0.27＝27-290＝2590＝5〖〗18。
0.31252525……＝0.3125＝3125-319900＝15474950。
数学的变化虽是无穷的，在研究了大量的现象或大量的例题后，应学会从特殊的问题中，总结出一般规律的思考方法。这种由特殊情况归纳出一般情况的方法称为经验归纳法。
逻辑体系的奇迹
