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第10章 奇妙无穷的数与形(2)

公元前3世纪时,最著名的数学中心是亚历山大城;在亚历山大城,最著名的数学家是欧几里得。

欧几里得知识渊博,数学造诣精湛,尤其擅长于几何证明。连当时的国王也经常向他请教数学问题。有一次,国王做一道几何证明题,接连做了许多天都没有做出来,就问欧几里得,能不能把几何证明搞得稍微简单一些。欧几里得认为国王想投机取巧,于是不客气地回答说:“陛下,几何学里可没有专门为您开辟的大道!”这句话长久地流传下来,许多人把它当做学习几何的箴言。

在数学上,欧几里得最大的贡献是编了一本书。当然,仅凭这一本书,就足以使他获得不配的声誉。

这本书,也就是震烁古今的数学巨著《几何原本》。

为了编好这本书,欧几里得创造了一种巧妙的陈述方式。一开头,他介绍了所有的定义,让大家一翻开书,就知道书中的每个概念是什么意思。例如,什么叫做点?书中说:“点是没有部分的。”什么叫做线?书中说:“线有长度但没有宽度。”这样一来,大家就不会对书中的概述产生歧义了。

接下来,欧几里得提出了5个公理和5个公设:

公理1与同一件东西相等的一些东西,它们彼此也是相等的。

公理2等量加等量,总量仍相等。

公理3等量减等量,总量仍相等。

公理4彼此重合的东西彼此是相等的。

公理5整体大于部分。

公设1从任意的一个点到另外一个点作一条直线是可能是。

公设2把有限的直线不断循直线延长是可能的。

公设3以任一点为圆心和任一距离为半径作一圆是可能的。

公设4所有的直角都相等。

公设5如果一直线与两直线相交,且同侧所交两内角之和小于两直角,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。

在现在看来,公理与公设实际上是一回事,它们都是最基本的数学结论。公理的正确性是无庸置疑的,因为它们都经过了长期实际践的反复检验。而且,除了第5公设以外,其他公理的正确性几乎是“一目了然”的。想想看,你能找出一个例子,说明这些公理不正确吗?

这些公理是干什么用的?欧几里得把它们作为数学推理的基础。他想,既然谁也无法否认公理的正确性,那么,用它们作理论依据去证明数学定理,只要证明的过程不出差错,定理的正确性也是理论证据,却能推导出新的数学定理来。这样,就可以用一根逻辑的链条,把所有的定理都串联起来,让每一个环节都衔接得丝丝入扣,无懈可击。

在《几何原本》里,欧几里得用这种方式,有条不紊地证明了467个重要的数学定理。

从此,古希腊丰富的几何学知识,形成了一个逻辑严谨的科学体系。

这是一个奇迹!2000多年后,大科学家爱因斯坦仍然怀着深深的敬意称赞说:这是“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹”。

尺规作图拾趣

希腊是奥林匹克运动的发源地。奥运会上的每一个竞赛项目,对运动器械都有明确的规定,不然的话,就不易显示出谁“更快、更高、更强”。一些古希腊人认为,几何作图也应像体育竞赛一样,对作图工作作一番明确的规定,不然的话,就不易显示出谁的逻辑思维能力更强。

应该怎样限制几何作图工具呢?他们认为,几何图形都是由直线和圆组成的,有了直尺和圆规,就能作出这两样图形,不需要再添加其他的工具。于是规定在几何作图时,只准许使用圆规和没有刻度的直尺,并且规定只准许使用有限次。

由于有了这样一个规定,一些普普通通的几何作图题,顷刻间身价百倍,万众瞩目,有不少题目甚至让西方数学家苦苦思索了2000多年。

尺规作图特有的魅力,使无数的人沉湎其中,乐而忘返。连拿破仑这样一位威震欧洲的风云人物,在转战南北的余暇,也常常沉醉于尺规作图的乐趣中。有一次,他还编了一道尺规作图题,向全法国数学家挑战呢。

拿破仑出的题目是:“只准许使用圆规,将一个已知圆心的圆周4等分。”

由于圆心O是已知的,求出这个题目的答案并不难。

我们可以在圆周上任意选一点A,用圆规量出OA的长度,然后以A点为圆心画弧,得到B点;再以B点为圆心画弧,得到C点;再以C点为圆心画弧,得到D点。这时,用圆规量出AC的长度,再分别以A点和D点为圆心画两条弧,得到交点M。接下来,只要用圆规量出OM的长度,逐一在圆周上划分,就可以把圆周4等分了。

如果再增添一把直尺,将这些4等分点连接起来,就可以得到一个正4边形。由此不难看出,等分圆周与作正多边形实际上是一回事。

只使用直尺和圆规,怎样作出一个正5边形和正6边形呢?

这两个题目都很容易解答,有兴趣的读者不妨试一试。

不过,只使用直尺和圆规,要作出正7边形可就不那么容易了。别看由6到7,仅仅只增加了一条边,却一跃成为古代几何的四大名题之一。尺规作图题就是这样变化莫测。

这个看上去非常简单的题目,曾经使许多著名数学家都束手无策。后来,大数学家阿基米德发现了前人之所以全都失败了的原因:正7边形是不能由尺规作出的。阿基米德从理论上严格证明了这一结论。

那么,采用尺规作图法,究竟有哪些正多边形作得出来,有哪些作不出来呢?

有人猜测:如果正多边形的边数是大于5的质数,这种正多边形就一定作不出来。

17是一个比5大的质数,按上面这种说法,正17边形是一定作不出来的。在过去的2000年里,确实有许多数学家试图作出正17边形,但无一不遭受失败。岂料在1796年,18岁的大学生高斯居然用尺规作出了一个正17边形,顿时震动了整个欧洲数学界。

这件事也深深震动了高斯,使他充分意识到自己的数学能力,从此决心献身于数学研究,后来终于成为一代数学大师。

高斯还发明了一个判别法则,指出什么样的正多边形能由尺规作出,什么样的正多边形则不能,圆满地解决了正多边形的可能性问题。高斯的判别法则表明,能够由尺规作出的正多边形是很少的,例如,在边数是100以内的正多边形中,能够由尺规作出的只有24种。

有趣的是,正7边形的边数虽少,却不能由尺规作出;而正257边形,边数多得叫人实际上很难画出这样的图形,却一定可由尺规作出。1832边形,边数多得叫人实际上很难画出这样的图形,却一定可由尺规作出。1832年,数学家黎克洛根据高斯指出的原则,解决了正257边形的作图问题。他的作图步骤极其繁琐,写满了80页纸,创造了一项“世界纪录”。

不久,德国人赫尔梅斯又刷新了这个纪录。他费了10年功夫,解决了正65537有的作图问题。这是世界上最繁琐的尺规作图题。据说,赫尔梅斯手稿可以装满整整一手提箱呢!

有形状的数

毕达哥拉斯不仅知道奇数、偶数、质数、合数,还把自然数分成了亲和数、亏数、完全数等等。他分类的方法很奇特,其中,最有趣的是“形数”。

什么是形数呢?毕达哥拉斯研究数的概念时,喜欢把数描绘成沙滩上的小石子,小石子能够摆成不同的几何图形,于是就产生一系列的形数。

毕达哥拉斯发现,当小石子的数目是1、3、6、10等数时,小石子都能摆成正三角形,他把这些数叫做三角形数;当小石子的数目是1、4、9、16等数时,小石子都能摆成正方形,他把这些数叫做正方形数;当小石子的数目是1、5、12、22等数时,小石子都能摆成正五边形,他把这些数叫做五边形数……这样一来,抽象的自然数就有了生动的形象,寻找它们之间的规律也就容易多了。不难看出,头四个三角形数都是一些连续自然数的和。瞧,3是第二个三角形数,它等于1+2;6是第三个三角形数,它等于1+2+3;10是第四个三角形数,它等于1+2+3+4。

看到这里,人们很自然地就会生发出一个猜想:第五个三角形数应该等于1+2+3+4+5,第六个三角形数应该等于1+2+3+4+5+6,第七个三角形数应该等于……这个猜想对不对呢?

由于自然数有了“形状”,验证这个猜想费不了什么事。只要拿15个或者21个小石子出来摆一下,很快就会发现:它们都能摆成正三角形,都是三角形数,而且正好就是第五个和第六个三角形数。

就这样,毕达哥拉斯借助生动的几何直观,很快就发现了自然数的一个规律:连续自然数的和都是三角形数。如果用字母n表示最后一个加数,那么1+2+…+n的和也是一个三角形数,而且正好就是第n个三角形数。

毕达哥拉斯还发现,第n个正方形数等于n2,第n个五边形数等于n(3n-1)/2,第n个六边形数等于2n(n-1)……根据这些规律,人们就可以写出很多很多的形数。

不过,毕达哥拉斯并不因此而满足。譬如三角形数,需要一个数一个数地相加,才能算出一个新的三角形数,毕达哥拉斯认为这太麻烦了,于是着手去寻找一种简捷的计算方法。经过深入探索自然数的内在规律,他又发现,1+2+……+n=12×n×(n+1)这是一个重要的数学公式,有了它,计算连续自然数的和可就方便多了。例如,要计算一堆电线杆数目,用不着一一去数,只要知道它有多少层就行了。如果它有7层,只要用7代替公式中的n,就能算出这堆电线杆的数目。

1+2+3十4+5+6+7=12×7×(7+1)=28(根)就这样,毕达哥拉斯借助生动的几何直观,发现了许多有趣的数学定理。而且,这些定理都能以纯几何的方法来证明。

例如,在一些正方形数里,左上角第一个框内的数是1,它是1的平方;第二框内由1+3组成,共有4个小石子,它是2的平方;第三个框内由1+3+5组成,共有9个小石子,它是3的平方。……由此不难看出,只要在正方形数上作些记号,就能令人信服地说明一个数学定理:“从1开始,任何个相继的奇数之和是完全平方。”即1+3+5+……+(2n-1)=n2费尔马小定理。

17世纪时,有个法国律师叫费尔马。他非常喜欢数学,常常利用业余时间研究高深的数学问题,结果取得了很大的成就,被人称为“业余数学家之王”。

费尔马研究数学时,不喜欢搞证明,喜欢提问题。他凭借丰富的想像力和深刻的洞察力,提出了一系列重要的数学猜想,深刻地影响了数学的发展。他提出了“费尔马大定理”,几百年来吸引了无数的数学家,是一个至今尚未完全解决的著名数学难题。

费尔马最喜欢的数学分支是数论。他曾深入研究过质数的性质。1640年,他发现了一个有趣的现象:

当n=1时,22n+1=221+1=5;当n=2时,22n+1=222+1=17;当n=3时,22n+1=223+1=257;当n=4时,22n+1=224+1=65537;费尔马没有继续算下去,他猜测说:只要n是自然数,由这个公式算出的数一定都是质数。

这是一个很有名的猜想。由于演算起来很麻烦,很少有人去验证它。1732年,大数学家欧拉认真研究了这个问题。他发现,费尔马只要往下演算一个自然数,就会发现由这个公式算出的数不全是质数。

n=5时,22n+1=225+1=4294967297,4294967297可以分解成641×6700417,它不是质数。也就是说,费尔马的这个猜想不能成为一个求质数的公式。

实际上,几千年来,数学家们一直在寻找这样一个公式,一个能求出所有质数的公式。但直到现在,谁也未能找到这样一个公式。而且谁也未能找到证据,说这样的公式就一定不存在。这样的公式究竟存在不存在,也就成了一个著名的数学难题。

费尔马有心找出一个求质数的公式,结果未能成功,人们发现,倒是他无意提出的另一个猜想,对寻找质数很有用处。

费尔马猜测说:如果P是一个质数,那么,对于任何自然数n,np-n一定能够被P整除。这一回,费尔马猜对了。这个猜想被人称做费尔马小定理。例如11是质数,2是自然数,所以211-2一定能被11整除。

如果反过来问:若n能够整除2n-2,n是否一定就是质数呢?

答案是否定的。但人们发现,由这个公式算出的数绝大多数是质数。有人统计过,在1010以内,只要n能整除(2n-2),则n有99.9967%的可能是质数。这样,只要能剔除为数极少的冒牌质数,鉴定一个数是不是质数也就不难了。

利用费尔马小定理,这是目前最有效的鉴定质数的方法。要判断一个数的n是不是质数,首先看它能不能被(2n-2)整除,如果不能整除,它一定是合数;如果能整除,它就极有可能是质数。

有消息说,在电子计算机上运用这种新方法,要鉴定一个上百位的数是不是质数,一般只要15秒钟就够了。

破碎的数

在拉丁文里,分数一词源于frangere,是打破、断裂的意思,因此分数也曾被人叫做是“破碎数”。

在数的历史上,分数几乎与自然数同样古老,在各个民族最古老的文献里,都能找到有关数的记载,然而,分数在数学中传播并获得自己的地位,却用了几千年的时间。

在欧洲,这些“破碎数”曾经令人谈虎色变,视为畏途。7世纪时,有个数学家算出了一道8个分数相加的习题,竟被认为是干了一件了不起的大事情。在很长的一段时间里,欧洲数学家在编写算术课本时,不得不把分数的运算法则单独叙述,因为许多学生遇到分数后,就会心灰意懒,不愿意继续学习数学了。直到17世纪,欧洲的许多学校还不得不派最好的教师去讲授分数知识。以致到现在,德国人形容某个人陷入困境时,还常常引用一句古老的谚语,说他“掉进分数里去了”。

一些古希腊数学家干脆不承认分数,把分数叫做“整数的比”。

古埃及人更奇特。他们表示分数时,一般是在自然数上面加一个小圆点。在5上面加一个小圆点,表示这个数是1/5;在7上面加一个小圆点,表示这个数是1/7。那么,要表示分数2/7怎么办呢?古埃及人把1/4和1/28摆在一起,说这就是2/7。

1/4和1/28怎么能够表示2/7呢?原来,古埃及人只使用单分子分数。也就是说,他们只使用分子为1的那些分数,遇到其他的分数,都得拆成单分子分数的和。1/4和1/28都是单分子分数,它们的和正好是2/7,于是就用14+128来表示2/7。那时还没有加号,相加的意思要由上下文显示出来,看上去就像把1/4和1/28摆在一起表示了分数2/7。

由于有了这种奇特的规定,古埃及的分数运算显得特别繁琐。

例如,要计算5/7与5/21的和,首先得把这两个分数都拆成单分子分数:

57+521=(12+17+114)+(17+114+142);然后再把分母相同的分数加起来:

12+27+214+1〖〗42;由于算式中出现了一般分数,接下来又得把它们拆成单分子分数:

12+14+17+1〖〗28+142。

这样一道简单的分数加法题,古埃及人算起来都这么费事,如果遇上复杂的分数运算,他们算起来又该是何等的吃力。

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