——三段论与数学公式
莫斯科高等学校某次数学入学考试中，有一道题：三角形的三边分别为3、4、5，这是一个怎样的三角形?
这个问题不难回答一当然，这是一个直角三角形。但是为什么呢?很多考生是这样议论的。从毕达哥拉斯的定理中我们知道，任何三角形的斜边的平方等于另外两条直角边的平方之和。而这里正好是52=32+42。这就是说，从毕达哥拉斯的这一条定理可以得出结论。这个三角形是一个直角三角形。
从通常所谓的“常识”的观点看来，这种议论是令人信服的。但主考人却认为有毛病，因为它包含了一个很大的逻辑错误。为了顺利地通过考试，这里单知道一些定理是不够的。考生不应该违背数学中所要求的论证的逻辑性。
国内有的逻辑书是这样来分析的，即把考生的推理整理成三段论：
凡是直角三角形都是斜边的平方等于其他两边平方之和，
这个三角形是斜边的平方等于其他两边平方之和，所以这个三角形是直角三角形。
这个推理的形式结构是：
P是M
S是M
S是P
在这里，中项M两次都不周延，因此，他所得出的结论并不是必然的，有时可能是错误的。例如：下述推理就是同前述推理的逻辑结构完全相同的：
羊是动物
犬是动物
所以，犬是羊
其结论显然是荒唐的。
以上是有的逻辑书的分析。看起来，这样分析考生的逻辑错误，似乎很清楚明白，可惜不合乎考生的原意，仍然不足以服人。
实际上，考生的回答也不是按三段论方式推论的，所以，该书的分析就成了空中楼阁。正如数学家莫绍揆先生在评论中国古代的《墨子·小取》的逻辑体系时说到，“事实上，在自然科学中，在数学中，明显地使用三段论的地方极少，建立公式运用公式的地方比比皆是，可以说离不开建立公式的方法。足见建立公式法(效法)不但比三段论简明，而且比三段论更便于运用，更接近于数学和自然科学。《小取》提出效法而不讨论三段论，作者觉得这是很妥当的。”莫先生说明了数学推论的方法是建立公式，运用公式，即代入公式，符合公式的便真，不符合公式便假。这种建立公式、代入公式的方法，是科学尤其是数学上一贯大量使用的方法。试想想，我们在解习题时谁会去舍简求繁，不用代入公式方法而使用三段论呢?
上面说的逻辑读物的分析首先不合考生原意，削足适履；其次，也无法整理成一个三段论。何以见得?第一，对于一个任意的三角形来说，其三边不能用斜边和其他两边来做出区别，所谓斜边只是就直角三角形的一边来说的。如果我们把斜边改成长边的话，这个问题也好解决。但是更大的一个毛病仍然存在。这就是四名词(四概念)错误。细心读者会发现，上面整理出来的三段论的中项在大小前提中实际上是两个名词。在大前提中，中项“斜边的平方等于其他两边平方之和”是指“一般”直角三角形的属性，而小前提中的中项只是“这个”三角形的属性即52=32+42。
上面提到的逻辑读物认为，正确的推理形式应当是：把三段论的大前提改写为“凡是斜边的平方等于其他两边平方之和的三角形都是直角三角形”。这样一来，推理就有效了，但它仍然是四个名词，根本就不是一个三段论。
那么，究竟应当怎样来分析考生的逻辑错误呢?
我们先把考生的推论过程写下来：
如果一个三角形是直角三角形的话，那么其斜边的平方等于二直角边的平方和，
这个三角形的三边是52=32+42，
所以，这个是一个直角三角形。
这个推论过程是首先选择一个公式即第一个前提，然后代入公式，即第二个前提，得出结论，这种方式正是“曲全公理”(凡可以肯定或否定一全类的，亦可以肯定或否定该类之任一事物)本身的反映，这种“效法”方式和亚里士多德的演绎逻辑实质上是同一内容的两种处理方式，问题是，第一前提所选择的公式选择错了。正确的选择应当是毕达哥拉斯定理的逆定理，正确的推论如下：
如果一个三角形其一边的平方等于另两边的平方之和，那么它是一个直角三角形，
这个三角形其一边的平方等于另两边的平方之和，
所以，这个三角形是直角三角形。
怎样从逻辑上来分析这个有效的推理呢?
读者很容易把上面这个推论(1)看成一个充分条件的假言推理。我们把(1)与下面的推理(2)比较一下：
如果三角形ABC其一边的平方等于另两边的平方和，那么它是一个直角三角形，
三角形ABC其一边的平方等于另两边的平方之和，
所以，三角形ABC是直角三角形。
(1)与(2)的形式有不同之处。(2)的第一前提是“如果三角形ABC其一边的平方等于另两边的平方和，那么它是一个直角三角形”，这是假言判断。而第二前提正好是这个假言判断的前件。但是(1)中的第二前提却不是第一前提(假言判断)的前件，本来是不相同的，要把它误当作是相同的，如果发生在三段论中，就会犯四名词错误。
(2)是标准的充分条件的假言推理，形式是有效的，(1)却不是标准的充分条件假言判断。但是从(1)中的假言判断，即从“如果一个三角形其一边的平方等于另两边的平方之和，那么它是一个直角三角形”，可以推出“如果三角形ABC其一边的平方等于另两边的平方和，那么它是一个直角三角形”。在传统逻辑中，没有建立这条规则。而在数理逻辑中，有这样一条规则，叫做从一般到个别的规则。因此从(1)是能推出(2)的。可见(1)也是一个有效推理。
考生的推理也依(1)推出(2)的方式改写成一个充分条件假言判断，但由于未能遵守充分条件的假言推理的规则，即通过肯定后件来肯定前件，因而是不合逻辑的。
