指数函数不仅在数学、物理、天文上应用极广，而且在其他自然科学甚至社会科学上也大有用场。以指数规律变化的自然现象和社会现象，有一种极为重要的特性：即量A的变化量A，总是与量A本身及其变化时间t成正比：A∝At。事实上，令A＝f（t）＝at，则A＝at+t—at＝at（at—1）＝At（at—1）/t。
数学上可以证明，上式右端括号内的量，当变化时间很短时，趋向一个极限K（实际上等于lna），从而证得：
A≈kAt。
反过来，数学家也已经证明：如果量A的变化量与它本身及变化时间成正比（比例系数为k），那么此时必有A＝A0ekt。
这里A0是变量A的初始值（t＝0）的数，e＝2.718…则是一个重要的数学常量，它被成为自然常数。
并非危言耸听
公元1972年，尼克松被再次当选为美国总统后，建议美（前）苏两国联合攻克癌症。建议立即被采纳。美方赠送了供研究的23种致癌病毒；（前）苏方回赠了六名癌症患者的癌细胞标本。
第二年一月，美国国立癌症研究中心决定，将前苏联的癌细胞标本分送给几位科学家研究。其中的一份，送到了加州细胞培养所长实验所所长尼尔森芮斯博士手上。尼尔森芮斯经过几番周折，终于弄清了所有苏方赠送的六各标本，全是二十多年前死去的美国黑人拉克丝的细胞。
原来拉克丝1951年10月死于一种罕见的子宫颈癌。这种特殊的癌细胞具有极强的繁殖力和生命力。拉克丝从发现第一个病症到死亡，整个过程不足八个月。科学家们提取这种癌细胞加以培养，发现这些癌细胞竟以y＝A0·2x这样的指数曲线疯狂地生长。每24小时便增加一倍（上式中A0为原始数量，x为天数）。就这样，这种新发现的癌细胞被命名“海拉”，并被严格控制于实验室。
“海拉”细胞在不足一个月时间内，便能增加数千万倍，这使过去一直认为的，健康细胞“自发”转变为癌细胞的神秘现象，得到了新的解释。原来所谓“自发”转变，只不过是“海拉”细胞消灭并占领了整个培养物。
然而事过二十多年，“海拉”细胞不仅没有死亡，而且还令人费解地流到国外，出现在莫斯科。于是，尼尔森芮斯博士撰文向全世界敲起了警钟：“如果听任‘海拉’细胞在最适宜的情况下毫无抑制地生长，那么到现在为止，它们很可能已经占领整个世界。”
这是危言耸听吗？不。这是科学的结论。
如果任其疯狂生长，那么按理论计算，一年后将达到y＝A0·2365。现在，大家可以用对数工具计算一下，这个数字究竟有多大。
因为lgy＝lgA0+lg2365。
＝lgA0+365×lg2。
＝lgA0+365×0.3010。
=lgyAo=109.865。
从而y＝7.328×10109A0。
这样多的细胞，不必说占领整个地球，就是占领整个宇宙也不算过分。好在人类已经学会了对生物的有效控制，才制止了这种有害生物指数般的繁殖和生长。
值得反思的是：人类虽然很早就注意到要控制生物，却迟迟才注意控制人类自己，世界人口依然按一条可怕的指数曲线在增长着。公元初地球上的人口不足2.5亿人。到公元1650年世界人口也才达到5亿.大家来计算一下这段期间世界人口的增长率P：
因为5×108＝2.5×108（1+P）1650。
所以2＝（1+P）1650。
lg2＝1650lg（1+P）
因为lg（1+P）＝0.3010÷1650＝0.0001824。
所以1+P＝1.00042。
P＝0.042%。
这就是说，在公元后的1600年里，人类人口每年只平均增长万分之四多一些。然而，从公元1650年到公元1800年，仅一个半世纪，世界人口又翻了一番。可以算出这期间世界人口增长率为0.46%，比前面高了十倍。而从1800年到1930年，世界人口再次翻番，达20亿。1960年达30亿，1975年达40亿，1987年达50亿，世界人口沿着一条越来越陡峭的曲线直指上方。
科学家们告诫说，我们这个赖以生存的地球，最多只能养活80~100亿人类。然而，按目前世界人口的增长速度，这个界限在公元2025年将被突破。再下去地球将无法承担这一负荷，人类将最终毁灭自己。
科学已经向人类提出了警告。公元1987年7月11日，生活在这个星球上的第50亿个人，在南斯拉夫的萨格勒布市诞生了。这一天联合国人口活动基金会组织，向世界各国首脑，分别赠送一台特制的“人口钟”。这是一种奇异的计时器，除通常钟表功能外，还能显示该时刻该世界总人口的预测数，及每分钟各国人口的变化，它将随时提醒各国首脑重视人口问题。
追溯和预测
公元1896年，法国物理学家贝克勒尔发现，铀的化合物能放射出一种肉眼看不见的射线，这种射线可以使它在黑纸里的照相底片感光。这种现象引起了女科学家玛丽·居里的注意。居里夫人想，该不是只有铀才能发出射线吧。经她悉心研究，终于又发现了一些放射性更强的元素。
公元1903年，杰出的英国物理学家卢瑟福，设计了一个极为巧妙的实验，证实了放射性物质放出的射线有三种，而且在放出射线的同时，本身有一部分蜕变为其他物质。蜕变的速度不受冷热变化、化学反应及其他外界条件的影响。
经科学家们不懈努力，人们终于弄清了放射性蜕变的量的规律：即蜕变的变化量m，与当时放射性物质的质量m及蜕变时间成正比。也就是说m∝—t。右端的负号是因为蜕变后放射性物质减少的缘故。上式写成等式便是：m＝—kmt其中m＝m0e—kt。
下面我们计算一下，究竟需要多长时间，才能使放射性物质蜕变为原来的一半，为此，令m=12m0，于是12=e—kt1g12=—kTlge。
从而T=lg12=0.693×lk。
这是一个常量，这个常量只与放射性物质本身有关，称为该放射性物质的半衰期。镭的衰变情况：每隔1620年质量减为原来一半。下表列的是一些重要放射性物质的半衰期。
元素同位素符号半衰期
钍Th2321.39×1010年。
铀IU2384.56×103年。
镭Ra2261620年。
钋IPo210138天。
钋IIPo2141.5×10—4秒。
钋IIIPo2160.16秒。
铀IIU2342.48×105年。
铀是最常见的一种放射性物质，由上表得知，它的半衰期为45.6亿年。也就是说，过45.6亿年之后，铀的质量剩下原来的一半。由于铀蜕变后，最后变成为铅，因此我们只要根据岩石中现在含多少铀和多少铅，便可以算出岩石的年龄。科学家们正是利用上述的办法，测得地球上最古老岩石的年龄要为30亿年。当然，地球年龄要比这更大一些，估计有45~46亿年。
应用上面的数学方法，不仅可以使我们科学地追溯过去，而且可以帮助我们科学地预测将来。在儒勒·凡尔纳的《马蒂斯·桑多尔夫》这部小说里，作者描述了一个精彩动人的故事：
已经移去了两旁撑住船身的支持物，船准备下水了。只要把缆索解开，船就会滑下去。已经有五六个木工在船的龙骨底下忙着。观众满怀着好奇心注视着这件工作。这时候却有一艘快艇绕过岸边凸出的地方，出现在人们的眼前。原来这艘快艇要进港口，必须经过“特拉波科罗”号准备下水的船坞前面。所以一听见快艇发出信号，大船上的人为了避免发生意外，就停止了解缆下水的操作，让快艇先过去。假使这两条船，一条横着，另一条用极高的速度冲过去，快艇一定会被撞沉的。
