1.1.3力偶
作用于同一刚体上的大小相等、方向相反、作用线互相平行的两个力F和F′组
成的力系称为力偶，记为(F，F′)。组成力偶的两个力的矢量和为零，且本身又不平
衡，力偶没有合力，也不能与一个力等效。力偶和力是组成力系的两个基本元素。设
组成力偶的两力F和F′的作用点矢径分别为rA和rB，从B到A的矢径为rBA=rA-
rB，见图1.1.9，力偶矩矢M定义如下:M=rBA×F(1.1.34)
力偶矩矢M的模?M?为
M=rBA×F=Fh(1.1.35)
其中h=rABsinθ为平行力之间的距离，称为力偶臂，θ
为rBA和F间的夹角。显然，当组成力偶的两个力沿
各自的作用线移动时力偶矩矢保持不变。下面计算
力偶对任意一点O的力矩
MO(F)+MO(F′)
=rA×F+rB×F′=(rA-rB)×F=rAB×F=M
(1.1.36)
这表明力偶对任意一点的力矩恒等于力偶矩矢。两平行力的作用线决定的平面称为
力偶作用平面。力偶的三要素是:力偶矩矢的大小，力偶作用平面的方位，以及力偶
的转向。几何上力偶也可表示为带箭头按比例的有向线段，用字母M表示(见
图1.1.9)，以区别于力。同力的投影相似，力偶在轴上的投影定义为
Mx=M·i，My=M·j，Mz=M·k(1.1.37)
力偶也可以表示成解析形式
M=Mxi+Myj+Mzk(1.1.38)
同样也可以通过力偶的3个投影来计算力偶矩的大小和方向
M=M2
x+M2
y+M2
z，cosα=
Mx
M
，cosβ=
My
M
，cosγ=
Mz
M
(1.1.39)
力偶对任意一点的力矩恒等于力偶矩，这表明力偶矢量没有作用点，是自由矢
量。可以推断，在保持力偶的三要素的前提下，任意改变力偶在作用面内的位置，或
同时改变力的大小和方向以及力偶臂的长短都不影响力偶对刚体的运动效应。可
见，两个力偶的等效条件是力偶矩矢相等。
一般情况下，刚体受到的力偶作用不止一个而是一群，这一群力偶称为力偶系，
如同时钻多个孔的钢板就受到力偶系作用。如果力偶系中诸力偶矩矢的方向彼此不
平行，则为空间力偶系，否则就是平面力偶系。平面力偶系中各力偶矢量均与所在平
面垂直，可以用在该方向的投影表示。因此，平面力偶的合成可简化为代数运算。
由于力偶是矢量且为自由矢量，所以力偶系必存在合力偶。合力偶M等于分力
偶Mi(i=1，2，…，n)的矢量和，即
M=M1+…+Mn=∑
n
i=1
Mi(1.1.40)
写成投影式
Mx=∑
n
i=1
Mix，My=∑
n
i=1
Miy，Mz=∑
n
i=1
Miz即合力偶在任一轴上的投影，等于分力偶在该轴上投影的代数和。
平面力偶系的合力偶M等于分力偶Mi的代数和。
M=M1+…+Mn=∑
n
i=1
Mi(1.1.42)
例1.1.5作用在图示刚体上的两力偶的力偶矩分别为M1=20N·m和M2=
30N·m，刚体的几何尺寸a为已知。试计算其合力偶矩。
例1.1.5图
解在图示坐标系下两力偶可用矢量表示为
M1=
2
2
M1(i+j)，M2=
3
3
M3(i+j+k)(a)
合力偶矩等于两力偶矩的矢量和
M=M1+M2=31.46(i+j)+17.32k(b)
即
M=47.74N·m，γ=68.72°，φ=45°(c)
其中φ为ξ轴与x轴的夹角。
