4.结束语
本文研究了动态需求情况下，多断点总量折扣模式的多产品联合采购经济批量问题，并考虑了乳制品对存储要求的特殊性以及经销商有限的存储空间。采用罚函数和后向平移过程处理问题中的约束。最后结合某乳制品企业的实际数据，验证了GA算法的有效性，并为企业指定采购计划提供辅助性参考。
参考文献
Wagner，H.M.，T.M.Whitin.Dynamic Version of the Economic Lot Size Model [J].Management Science，1958，5（1）：89-96
Federgruen A，Lee C Y.The dynamic lot size model with quantity discount [J].Naval Research Logistics，1990，37：707-713
Xu J F，Lu L L.The dynamic lot size model with quantity discount：counterexamples and correction [J].Naval Research Logistics，1998，45：419-422
Lee C Y.Inventory replenishment model：lot sizing versus just-in-time [J].Operations Research Letters，2004，32：581-590
徐健腾，柏庆国，张玉忠.满足多断点折扣费用函数的经济批量问题的多项式时间算法[J].数学的实践与认识，2009，18（39）：9-14
王圣东，王峻萍，周永务.考虑批量折扣的单供货商多销售商动态规划模型[J].系统工程理论方法应用，2006，15：332 - 338
Chung-Lun Li，Vernon Ning Hsu，Wen-Qiang Xiao.Dynamic Lot Sizing with Batch Ordering and Truckload Discounts [J].Operations Research，2004，4（52）：639-654
Nafee Rizk，Alain Martel，Amar Ramudhin.A Lagrangean relaxation algorithm for multi-item lot-sizing problems with joint piecewise linear resource costs [J].Int.J.Production Economics，2006，102：344-357
Gerard J.Burke，Janice Carrillo，Asoo J.Vakharia.Heuristics for sourcing from multiple suppliers with alternative quantity discounts [J].European Journal of Operational Research.2008，186：317-329
周明，孙树栋.遗传算法原理及应用[M].北京：国防工业出版社.1996，1-65
The Joint Procurement Plan Model of the
Dairy with Quantity Discount
FAN Chang-yongZHONG Jin-hong
（School of Management，Hefei University of Technology，Hefei230009，China）
Abstract：This paper addressed multi-products joint procurement lot sizing problem under multi-breakpoints all units discounts model，having considered the particularity of dairy products on the requirements of the storage space.It designed a genetic algorithm that through constructing an adaptive penalty function and a backward shift procedures process to deal with constraints of the problem.At last，combining with actual data of a dairy company，it verified the validity of the algorithm.
Keywords：Dairy products；Procurement program；All units discount；Genetic Algorithm
具有联盟结构的合作对策成本分摊方法
王宇熊、孟英
（北京理工大学管理与经济学院，北京100081）
摘要：合作对策的局中人往往不能形成有效的最大联盟，因此本文将具有联盟结构的合作对策理论应用于成本分摊问题，讨论了Aumann-Dreze模型和Owen模型下各自的成本分摊方法及其适用范围，并给出算例予以说明。
关键词：联盟结构；合作对策；成本分摊；Aumann-Dreze值；Owen值
中图分类号：C931.文献标识码：A
0.引言
合作对策从宏观角度出发，直接关注于联盟怎样形成，哪些联盟可以形成及形成的联盟如何分配收益和分摊成本，关注可以用有约束力的承诺来得到可行的结果。目前应用较为广泛的合作对策的解主要有夏普利值（Shapley value）、核（Core）、稳定集（Stable set）等。
然而由于传统的合作对策的前提是全体局中人形成最大联盟，这一点在现实生活常常是得不到满足的，因此出现了具有联盟结构的对策问题。在处理具有联盟结构的对策问题时，Aumann和Dreze、Owen、Hart和Kurz等学者相继进行了研究。近年来，许多学者也致力于对联盟结构解的问题的改进和研究。
具有联盟结构的合作对策问题可以应用于解决局中人间的成本分摊问题，例如Owen值在政治联盟中有着一些应用；Vázquez-Brage等人应用Owen值的表达式计算了Labacolla机场起降的各大航空公司的不同机型的参考起降费等。本文在成本型合作对策Shapley值解的基础上，分别讨论了Aumann-Dreze值和Owen值对于成本分摊问题的解法，并给出算例，分析了这两种方法各自适用的环境及其优劣性。
1.成本型合作对策及联盟结构概念
1.1成本型合作对策
成本型合作对策与经典合作对策相类似，需同时满足集体理性与个体理性的条件。集体理性是指合作局中人全体获得了比不合作情形更少的成本支付；个体理性是指在总成本的分配上要保证每一个局中人都能够获得比其单独行动时更少的支出。
设局中人的集合为，N的任意子集称为联盟，所有联盟的全体记为。
定义1n人成本型合作对策的特征函数是指定义在上的一个实函数c，其中表示联盟S合作所需支付的成本数量。表示第i个局中人独立完成工作所需支付的成本。表示第i个局中人最终需支付的成本数量。
1.2联盟结构
2.联盟结构合作对策的成本分摊方法
为了便于讨论具有联盟结构的合作对策成本分摊方法，下面继续给出商对策的概念。
2.1.成本型合作对策的Shapley值解
在求解具有联盟结构的合作对策问题时，常用的解概念有Aumann-Dreze值和Owen值。这两种概念的提出都借鉴了最大联盟合作的Shapley值解的概念，因此先给出全体局中人形成最大合作联盟情形下，成本型合作对策的Shapley值解。
2.2.基于Aumann-Dreze值的成本分摊方法
1974年，Aumann和Dreze基于经典TU-合作对策建立了一类联盟结构模型，在该模型中，他们假设每一个结构联盟都是一个孤立的个体，彼此之间没有相互影响，与此类联盟结构模型相对应的值称作Aumann-Dreze值。该模型的分配规则是，每一个局中人i获得的分配值是对策在联盟限制下的Shapley值。
将Aumann-Dreze值的思想应用于联盟结构的成本分摊问题，联盟中所有局中人的总成本等于该联盟的值，因此全体局中人的总成本就是。按照Aumann-Dreze值的分配规则，在联盟中，局中人的成本分摊独立于联盟之外的局中人，而只依赖于与其同一联盟中其他局中人的相互作用。
Aumann-Dreze值的分摊方法是基于一种较为简单的假设模型，即每一个结构联盟都是一个独立的集合体，该集合体不与其他结构联盟发生任何相互作用。而在实际情形下，不同结构联盟间往往会出现一些相互作用或影响，这时，Aumann-Dreze值方法就不再适用了。
2.3.基于Owen值的成本分摊方法
根据Owen对于联盟结构解的定义，Owen联盟结构模型假设对策具有超可加性，社会运行有效率，全体局中人形成的最大联盟将在最后形成。该框架下，具有联盟结构的对策定义如下：
定义6Owen联盟结构的对策一般以一个三元组表示，其中N是局中人集合，是合作对策，是联盟结构。
同样的，以表示局中人i的成本特征函数值，则Owen联盟结构的成本型对策表示为。Owen联盟结构的模型假设某一局中人与其所属联盟之外的局中人联盟之间可能存在合作，于是，在Owen联盟结构值的定义中，具有联盟结构的合作对策表现为局中人在两个水平下的相互作用：首先，最大联盟的特征函数值在各结构联盟间进行分配；其次，各联盟内部的局中人对第一阶段所属联盟的分配值进行二次分配。也就是说，结构联盟Bk在第一阶段的分配过程中是被看做不可拆分的整体进行Shapley分配的，其值一般不同于c(Bk)。因此，Owen联盟结构值可以看做是Shapley值在具有联盟结构合作对策情形下的推广。
3.算例分析
设是3个局中人集合，是N上具有联盟结构的成本型合作对策。
方法一利用Aumann-Dreze值的方法确定局中人间的成本分摊方案：
Aumann-Dreze值方法的思路是局中人与所在结构联盟之外的其余人没有相互关系，因此他只在所属结构联盟之内发生分摊的关系。根据式（3）可得各局中人的成本分摊值如下：
方法二利用Owen 值的方法确定局中人间的成本分摊方案：
由于Owen值考虑的条件是大联盟最终可以形成，某局中人除与本结构联盟成员间发生相互作用外，与其他结构联盟的局中人间也存在相互关系，因此在考虑成本分摊问题时，必须将其他结构联盟中的局中人考虑在内。则根据式（4）计算可得各局中人的分摊结果如下。
根据两种分摊方法的计算结果可知，无论局中人采取的联盟结构合作方式属Aumann-Dreze模型还是Owen模型，其所分摊到的成本均明显小于自身单干所需要支付的成本数量。而对两种合作方式进行比较可以发现，局中人采取Owen结构模型进行合作时，3名局中人的分摊结果较之Aumann-Dreze模型来说分别减少了，显然，这样的成本分摊结果也比Aumann-Dreze模型的结果理想。当然，在实际应用中究竟采用哪一种合作方式，还需要参与合作的各局中人协商决定。
4.结束语
成本分摊是一个比较复杂的问题，而应用合作对策解决联盟局中人间的成本问题时，常常会因为最大联盟并非有效联盟而变得复杂。本文基于联盟结构合作对策理论，提出了具有联盟结构合作对策的成本分摊方法，又通过分析子联盟间的相互影响情况，确定了Aumann-Dreze模型和Owen模型下的两种成本分摊方法。从算例分析得出的结论中以看出，局中人分摊的结果均能够满足集体理性和个人理性，可以认为这样的分摊方法是合理的。
参考文献
Hart S，A Mas-Colell.Potential，Value and Consistency[J].Econometric，1989（57）：589-614
Shapley LS.A Value for n-person Games[J].Annales of Mathematics Studies，1953（28）：307-317
Gillies DB.Some Theorems on n-person Games[M].Princeton：Princeton University Press，1953
Von Neumann J，Oscar Morgenstem.The Theory of Games and economic Behavior[M].Princeton：Princeton University Press，1944
