45.你知道“筛法”是什么吗
“筛法”是一种求质数的方法。是公元前300年左右由古希腊着名数学家埃拉托色尼提出的，所以，也叫埃拉托色尼筛法。
埃拉托色尼把自然数1、2、3、4……写在一块涂了一层白蜡的板上，将去掉数的地方用工具刺成小孔，很像一个筛子。因为用它把所有的合数都筛掉，留下的都是质数，所以，人们把这种求质数的方法叫做“筛法”。
筛法的根据是：对于一个正整数N，如果不能被小于或等于N的任何一个正整数所整除，那么这个数N必定是质数。
具体的做法是：(以100以内的质数的筛选为例)先把1到100这一百个数依次排列(如下表)。
12345678910111213141516171819202122……
1不是质数也是不合数，先划去或圈上。
①，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12……
留下2，把2后面所有2的倍数都划去，凡是2的倍数都是偶数，也就是把2后面的所有偶数划去；
①，2，3，，5，，7，，9，10\，11，12\，13，14\……
留下3，把3后面所有3的倍数都划去；
①，2，3，4，5，，7，8，，10，11，12\，13，14，15\，16……
留下5，把5后面的所有5的倍数都划去，也就是把5后面所有个位是0和5的数都划去；
①，2，3，4，5，6，7，8，9，10\，11，12，13，14，15\，16……
留下7，把7后面所有7的倍数都划去；
如此继续做下去，一直筛到100以内的合数全部划尽。
下面的表就是筛去了全部合数后，得到的100以内的质数。
①23456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100；
100以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97等，共25个。
46.铁栅栏门推拉起来轻松
有一种用铁条做成的门，开和关都很方便。轻轻一推，铁栅栏门就像松紧带似地挤拢在一起，变得很窄，轻轻地一拉，铁栅栏门又像网子似地伸开，变得很宽。你仔细地进行观察，如果除了发现门的顶部和底部都装有滑轮，可以使大门的关启变得格外轻松之外，还发现使铁门能宽能窄，能拢能伸，能轻松关启的根本原因是在于铁门的构造的话，那就找到了解答这个问题的关键。
原来铁门是由一个个的菱形(即四条边相等的平行四边形)组成。四条边长一定的四边形，它的形状并不固定，四边形的这种性质，叫做四边形的不稳定性，我们在学习四边形的时候，对它的这个性质一定已经有所认识。
聪明的工人叔叔，正是利用这种性质，制成了能够推拢和拉开的铁大门。
把这种性质合理地应用，不只是制作成关启起来非常轻松的铁栅栏门。
你们也许见过，有一种装货的大卡车，在它的身后还挂着一节装货的车箱，连接卡车与车箱的往往是菱形结构的链子；一种盛东西的网兜，用塑料绳或线绳编织而成，不用的时候，收拢在一起，伸开可以装不少东西；有一种可以合拢和伸开的自行车筐，不用的时候，合拢在一起成一个很扁的长方体，不占地方，要用的时候，打开成为一个能装东西的车筐，极大地方便人们的生活。
只要我们留意观察，还一定会发现许多利用“四边形不稳定”的这一性质，合理地为工农业生产和人们日常生活服务的事例。
47.谁更聪明
传说有这样一个故事：
有一个土耳其商人，想找一名助手。有两个人前来“应征”，商人想测验一下两个人谁聪明。
商人将他们两人带进了一间屋子，这间屋子里既没有镜子，也没有窗户。商人将照明用的灯点着，然后将一个装着帽子的盒子放到两个人的面前，打开盒盖说：“这里面有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的。现在我把灯灭掉。”随即便熄了灯，屋子里黑得什么也看不见了。商人接着说：“现在我们三个人每人从盒子里摸出一顶帽子戴在自己的头上。”三个人在黑暗中摸到帽子戴在头上后，商人把装帽子的盒子重又盖上盖，再将灯重新又点着，并说：“你们要尽快地说出自己头上戴的帽子是什么颜色。”
当灯亮了以后，两人都看到商人头上戴的是一顶红色的帽子，而另一个人的头上戴的是黑色的帽子，自己的头上戴的该是什么颜色的帽子呢？黑的？还是红的？
只过了一会儿，其中一个人兴奋而自信地说：“我戴的是黑帽子！”这个人果然猜对了，商人录用了他。
他为什么能很快地又十分肯定地说出自己头上所戴帽子的颜色呢？
他是这样想的：一共只有两顶红色的帽子，商人头上已经戴了一顶红色的，如果我头上戴的也是红色的，对方就可以毫不犹豫地立刻判断出自己戴的是黑色的帽子。可是，对方在灯亮了以后的短暂时间里没有立即说出，就这一点，便可以肯定我头上戴的不是红色的帽子。正因为我戴的是黑色的帽子，才使他与我有同样的考虑，同样的犹豫。我就是在灯亮了以后，对方正在犹豫的瞬间作出了这样的判断。
这样的分析和判断是令人信服的。你也能像聪明人那样去思考问题吗？
48.为什么九条路不可能不相交
在世界各地，广泛地流传着一道数学名题，尽管说法有不同，但实质上是同一个问题：某地有三个村庄和三所学校，从每个村庄到三所学校各修一条路，能不能使这九条路互不相交呢？您可能以为，只要不怕费事绕绕弯子，这事是不能办到的。可事实并非如此，上述想法是不能实现的，这里有着奥妙的数学原理。
19世纪，瑞士大数学家欧拉，在研究多面体的顶点数、棱数和面数的关系时，发现了一个规律，如立方体有8个顶点、12条棱、6个面、具有关系8-12＋6＝2。其它多面体也是这样，即一个多面体若有n个顶点、m条棱、p个平面，则一定有n-m＋p＝2，这就是着名的欧拉公式。
有了欧拉公式，前面的问题就可迎刃而解了。把问题看成是立体图形，每个村庄或学校就相当一个顶点，一条路就相当一条棱，用路围起来的部分就相当于一个面。因为有九条棱、六个顶点，那么有6-9＋p＝2，即p＝5，就是说应该有5个面；而从另一个角度考虑，从一个村庄出发，走一条路就到达一所学校，再走一条路就到达另一个村庄，再走一段路就到达另一所学校，再走一段路才能回到原地。所以围成一个至少要四段路即四条边，现有9条棱，若数面的边当然是18条边，至少四条边围一个面，当然围不成5个面。也就是说九条路的设想是不能实现的。读者们不妨想一下，若只修八条路能否实现？
对这类问题的研究，已经形成了数学领域的一个分支——拓扑学。它对工程设计，机器元件的设计，集成电路设计，电子计算机的程控、各种信息网络系统的建立，都有广泛的应用。
49.为什么球面不能展成平面图形
我们知道：圆柱、圆锥、圆台的侧面面积，可以利用它们在平面内的展开图来求出。由于球面不能展成平面图形，所以球的表面积公式无法用此法求出。
为什么球面不能展成平面图形呢？我们作如下说明。
圆柱、圆锥、圆台的侧面可以看成由一条直线(或线段)运动生成，球面是不能通过直线运动生成的。换言之，圆柱、圆锥、圆台的侧面存在直线，而在球面上没有一条直线存在。所以球面不能展成平面图形。我们把能够展成平面图形的曲面称为直纹面，圆柱、圆锥、圆台的侧面都是直纹面。
若在平面上随意剪下一块，例如矩形或扇形，就可以即不叠皱，也不撕破地吻合在圆柱或圆锥的侧面上。而在平面上无论你剪下什么样的形状的一块，都无法既不叠皱也不撕破地贴在球面上。事实上，如果我们在剪下的矩形、扇形或某一形状上，过任意一点，沿任意方向作相交于该点的直线段a、b、c……将这些画有线段a、b、c……的矩形、扇形贴在圆柱、圆锥侧面上，a、b、c……的长度均不变。而将画有线段a、b、c……的某形状往球面上贴，或者贴不上去，或者“贴”上去了，则某些方向上的线段c或d……长度就变了。因为只有使某些线段重合一部分，或拉长，或撕断才能贴在球的表面上去。两个曲面(平面是曲面的特殊情况)可以互相贴合的充要条件是这两个曲面等距。所谓等距是指两曲面间建立了一一对应关系，且对应曲线长度相等。平面与球面是建立不了等距关系的，所以球面不能展成平面图形。
50.默比乌斯带的奥秘
默比乌斯带是拓扑学家们的杰作之一。它使人感到古怪的是：只有一侧的曲面。
它的制做是极为简单的。我们把一个双侧环带随意在一处剪开，然后，扭转一半，即180°。再粘合到一起来形成封闭的环，就得到了默比乌斯带。
但如果描述为没有“另一侧”，这是很难理解和想象的。但做起来却很容易，你可随意从一处开始涂色(不离开这面)最终你将会发现默比乌斯带都被你涂上了颜色，也就说明这的确是一个单侧面的带子。
默比乌斯带具有各种意想不到的性质，有人称之为“魔术般的变化”。如果我们把默比乌斯带沿中线剪开，出乎意料地得到了一条双侧带子而不是两条。数学家对这种奇妙的现象解释为：一条默比乌斯带只有一条边，剪开却使它增加了第二条边与另一侧。如果把默比乌斯带沿三等分线剪开将使你又获新奇之感。剪刀将环绕纸带子走整整两圈，但只是一次连续的剪开，剪的结果是两条卷绕在一起的纸条，其中的一条是双侧纸圈，另一条则是新的默比乌斯带。你看，这真是一个奇妙的带子。
51.你能找到海盗藏宝的地点吗
传说有一帮海盗，把劫得的财宝埋在一个荒岛上，并在一张纸上写了若干诗句暗示藏宝地点，这样以便于把宝物遗留给他们的后代。几十年后，海盗们被捕获，在被击毙的头目身上发现了这张纸条，上面写到：何处找？在海岛；绞架直行到石马，右转同长是甲处；绞架直行到大树，左转同长是乙处；甲乙中分地，深挖勿泄气。不难看出这是一个埋藏重要物品的地点的说明，官方立即派人到岛上搜索，然而一到岛上，人们不免犯了难，大树、石马依然还在，而绞架荡然无存，这藏宝地点怎样确定呢？
后来终于有人用平面几何作图的方法，证明了藏宝地点仅与石马和大树的位置有关，而与绞架位置有关，于是轻而易举地找到了藏宝地点。下面我们来看一下这个问题的证明。
设石马为点A，大树为点B，在AB连线的一侧任取一点C算作绞架位置。连结CA，作DA⊥CA且DA＝AC；再连BC，作EB⊥CB且EB⊥CB且；连DE，其中点F假定为藏宝地点，如图作CC′、DD′、EE′、FF′都和AB垂直，C′D′E′F′分点为垂足，由三角形ACC′≌DAD′，可知AD′＝CC′，又由三角形BCC′≌EBF′，可知BE′＝CC′，又由F是DE中点，可知F′是D′E′中点。所以知F′是AB中点；另一方面我们又可证明，DD′＝AC′，EE′＝BC′，∴DD′＋EE′＝AB。由梯形中位线定理可知FF′＝12(DD′＋EE′)＝12AB，那么F是位于AB中垂线上且与A中点的距离等于AB长的一半，可见F点的位置与C点的选择是无关的。
读者不妨试一下，在AB的另一侧取点C。甚至在直线AB上取点C，看看点F的位置是否是不变的。
52.最巨大的数学专着
公元前4世纪，古希腊数学家欧几里得写过一部《几何原本》，共有13卷，它成为不朽的经典着作流传至今。1939年，书架上突然出现了《数学原本》（第一卷）。好大的口气！作者是谁？署名是从未听说过的布尔巴基。这部书从那时起，到1973年，已出到第35卷，至今还没有写完。它是目前最巨大的数学专着。
布尔巴基是一个集体的笔名。本世纪20年代末，法国巴黎大学有几名大学生，立志要把迄今为止的全部数学，用最新的观点，重新加以整理。这几个初出茅庐的青年人，准备用3年的时间，写出一部《数学原本》，建立起自己的体系。这当然是过高的奢望，结果他们写了40年，至今还没有完成，但是布尔巴基学派却在这一过程中形成了。他们在数学界独树一帜，把全部数学看作按不同结构进行演绎的体系，因而以结构主义的思想蜚声国际，赢得了数学界的赞扬。布尔巴基学派甚至已经影响到中学教科书，我国近几年翻译的英、美、日本中学教材里，都有它的影子。
布尔巴基学派最初的成员有狄多涅和威尔等人，他们开始写《数学原本》时只是20来岁的青年，现在已经70开外，成为国际着名的数学教授了。
