3.弹簧振子做简谐运动，从振子第一次通过平衡位置时开始计时，到第15次通过平衡位置时停止计时，测得这段时间为14s，则该弹簧振子的周期为，频率为4.在2题的图中，弹簧振子在AA′间做简谐运动，已知频率为2Hz，若从振子到达A点时开始计时，1分钟内振子经过平衡位置O点次，经过A′点次。
5.弹簧振子做简谐运动的振幅为A，周期为T，若将振幅减小为原来的15，那么周期将是原来的倍，若将振幅增大为原来的3倍，那么周期将是原来的倍。
6.如图所示，振子从平衡位置O点开始向右运动，在AA′间做简谐运动，到M点时速率第一次等于v，经过t1秒通过路程s1后，速率第二次等于v，又经过t2秒通过路程s2后，速率第三次等于v，则该振子的振动周期T等于，振幅A等于【参考答案】1.BC①4cm；②64cm2s；0.5HZ2.240；1201；12（t1＋t2）；s1＋s22
简谐运动的图像
【教学目标】
知识目标
1.知道振动图像的物理意义，知道简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线。
2.能根据图像知道简谐运动的振幅、周期和频率。
能力目标
1.通过利用频闪照片读数、列表、绘图，从而得到简谐运动的位移随时间的变化规律，提高学生运用数学工具解决物理问题的能力。
2.通过利用图像得到的信息，例如判断物体的位移、速度、加速度等物理量的大小与方向的变化规律，培养学生的抽象思维能力。
情感目标
1.通过列表法、绘图法得到简谐运动的图像，培养学生认真、严谨、实事求是的科学态度。
2.进一步使学生掌握解决物理问题的两种方法：公式法和图像法。
3.通过图像教学，培养学生的审美能力。
【教学设计方案】
（一）引入新课
质点做直线运动时，x-t图形1象地说明质点的位移随时间变化的规律。若以质点的初始位置为坐标原点，x表示质点的位移。
提问1：初速度为零的匀加速直线运动物体的位移随时间变化规律如何？并画出位移-时间的图像。（答案见图1）。
提问2：x-t图像是抛物线，其图像的横纵坐标、原点分别表示什么？物体运动的轨迹是什么？
答2：横轴表示时间；纵轴表示位移；坐标原点表示计时、位移起点。物体运动的轨迹是直线。
物体做简谐运动，是周期性变化的运动，它的位移随时间变化的规律又是什么样的呢？这正是本节要解决的问题。
（二）教学过程
演示一：下面的木板不动，让砂摆振动。
让学生观察现象：
1．砂在木板上来回划出一条直线，说明振动物体仅仅只在平衡位置两侧来回运动，但由于各个不同时刻的位移在木板上留下的痕迹相互重叠而呈现为一条直线。
2．砂子堆砌在一条直线上，堆砌的沙子堆，它的纵剖面是矩形吗？
学生答：砂子不是均匀分布的，中央部分（即平衡位置处）堆的少，在摆的两个静止点下方，砂子堆的多（如图2），因为摆在平衡位置运动的最快。
讲解：质点做的是直线运动，但它每时刻的位移都有所不同。如何将不同时刻的位移分别显示出来呢？
演示二：让砂摆振动，同时沿着与振动垂直的方向匀速拉动摆下的长木板（即平板匀速抽动实验，如图3所示）。
让学生观察现象：原先成一条直线的痕迹展开成一条曲线。
讨论图线：（请同学们相互讨论）
1．图线的x、y轴（横、纵坐标）分别表示什么物理量？
2．曲线是不是质点的运动轨迹？质点做的是什么运动？
3．图像的物理意义是什么？
4．这条图线的特点是什么？
请同学回答，并讨论得出正确结果。
一、简谐运动图像
1．图像（如图4）。
2．x-t图线是一条质点做简谐运动时，位移随时间变化的图像。
3．振动图像的横坐标表示的是时间t，因此，它不是质点运动的轨迹，质点只是在平衡位置的两侧来回做直线运动。
4．振动图像是正弦曲线还是余弦曲线，这决定于t＝0时刻的选择。
二、简谐运动图像描述振动的物理量
通过图5振动图像，让同学回答直接描述量。
答：振幅为5cm，周期为4s，及t＝1s，x＝5cm，t＝4s，x＝0等。
1．直接描述量：
①振幅A；②周期T；③任意时刻的位移x。
2．间接描述量：（请学生总结回答）
①频率：f=1T
②角速度ω：ω=2πT
③x-t图线上一点的切线的斜率等于V
例求出上图振动物体的振动频率，角速度及t＝5s时的即时速度。（请同学计算并回答）
解：频率f=1T=14=0.25（Hz）角速度ω=2πT=2π4=0.5π（rad/s）
t＝5s，x＝5cm处曲线的斜率为0，速度v＝0三、从振动图像中的x分析有关物理量（v，a，F）
简谐运动的特点是周期性。在回复力的作用下，物体的运动在空间上有往复性，即在平衡位置附近做往复的变加速（或变减速）运动；在时间上有周期性，即每经过一定时间，运动就要重复一次。我们能否利用振动图像来判断质点x，F，v，a的变化，它们变化的周期虽相等，但变化步调不同，只有真正理解振动图像的物理意义，才能进一步判断质点的运动情况。
例图6所示为一单摆的振动图像。
分析：①求A，f，ω；②求t＝0时刻，单摆的位置；③若规定单摆以偏离平衡位置向右为＋，求图中O，A，B，C，D各对应振动过程中的位置；④t＝1.5s，对质点的x，F，v，a进行分析。
找四位同学分别回答四个问题。
①由振动图像知A＝3cm，T＝2s，
f=1T=12=0.5（Hz），
ω=2πT=2π2=3.14（rad/s）
②t＝0时刻从振动图像看，x＝0，质点正摆在E点即将向G方向运动。
③振动图像中的O，B，D三时刻，x＝0，故都摆在E位置，A为正的最大位移处，即G处，C为负的最大位移处，即F处。
④t＝1.5s，x＝-3cm，由F＝-kx，F与X反向，F∝X，由回复力F为正的最大值，a∝F，并与F同向，所以a为正的最大值，C点切线的斜率为零，速度为零。
由F＝-kx，F＝ma，分析可知：
1．x＞0，F＜0，a＜0；x＜0，F＞0，a＞02．x-t图线上一点切线的斜率等于v；v-t图线上一点切线的斜率等于a3．x，v，a不变化周期都相等，但它们变化的步调不同。
（三）课堂小结
1．简谐运动的图像表示做简谐运动的质点的位移随时间变化的关系，是一条正弦（或余弦曲线）曲线，不是质点运动的轨迹。
2．从振动图像可以看出质点的振幅、周期以及它在任意时刻的位移。
3．凡与位移x有关的物理量（速度v，加速度a，回复力F等）都可按位移x展开，均可在图像上得到间接描述，为进一步分析质点在某段时间内的运动情况奠定基础。
五、说明
教学过程中的三是对振动图像的进一步理解，如果学生接受有困难，可放在习题课上讲解或学完本章后复习小结时再展开。
典型例题
例1一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列结论正确的是．A．质点的振动频率为4HzB．在10s内质点通过的路程是20cm
C．在第5s末，质点的速度为零，加速度最大D．在t＝1.5s和t＝4.5s两时刻质点的加速度方向和速度方向都相同。
[解析］由振动图像直接可得T=4s，A=2cm，因此振动频率f=1T=0.25Hz，在10s内（即2.5T的时间内）质点通过的路程为2.5×4A＝2.5×4×2＝20（cm），在第5s末，质点的位移正向最大，因此加速度反向最大，速度为零，在t＝1.5s和t＝4.5s两时刻，质点的位移相同，质点的加速也相同，方向都沿－x，但在t＝1.5s时质点向下振动，在t＝4.5s时质点向上振动。
正确选项为BC．
例2如图所示为某一质点的振动图像，由图像可知在t1和t2两时刻，质点的速度v1、v2，加速a1、a2的正确关系为A．v1>v2，方向相同B．v1<v2，方向相反C．a1>a2，方向相同D．a1>a2，方向相反出题目的：考查利用振动图像判断某一物理量在不同时刻的状态。
[解析］在t1时刻质点向下向平衡位置运动，在t2时刻质点向下远离平衡位置运动，所以v1与v2的方向相同，但由于在t1时刻质点离平衡位置较远，所以v1<v2，a1>a2，质点的加速度方向总是指向平衡位置的，因而可知在t1时刻加速度方向向下，在t2时刻加速度方向向上。正确选项为AD例3如图所示，在光滑的水平横杆上，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间做简谐运动振动周期为2s，则振子由O运动到OC中点所需的最短时间为s出题目的：考查利用振动图像振动周期判断振动物体的运动情况。
[解析］振子从O运动到OC中点所需的时间在O向C运动时最短，若以向左的位移为正，做出从O开始向左运动计时的振动图像，如下图所示。
在质点到达OC中点时的位移值是A／2所对应的时刻t1，由正弦函数的性质可知t1=13×T4=13×24=），即质点由O到OC中点所需最短时间为例4对于作简谐振动的物体，下列说法正确的是A．在一个周期内，物体通过的路程为振幅的4倍B．在四分之一个周期内，物体通过的路程为振幅的1倍C．在半个周期内，物体通过的路程为振幅的2倍D．在四分之三个周期内，物体通过的路程为振幅的3倍出题目的：考查利用振动图像判断不同周期内，振动物体通过的路程的情况。
解析对于作简谐运动的物体，在一个周期内，它通过的路程是振幅的4倍，但是对于不是周期的整数倍的时间内，它通过的路程可用振动过程的x-t图像来说明，如图所示在图中选取了几个不同的时间间隔来分析：△t=5T4-T=T4，物体的路程由图可知，刚好为振幅A的一倍，即s=A△t=3T8-T8=T4，物体的路程由图可知，这段时间内的路程为：s=2（A-2A2）=0.586A<A△t=5T8-3T8=T4，物体的路程由图可知，这段时间内的路程为：s=22A2=1.41A>A△t=5T8-T8=T2，物体的路程由图可知，这段时间内的路程为：s=2（A-2A2）＋22A2=2A这说明了在四分之一个周期的时间内，振动物体通过的路程可能是一个振幅，可能小于振幅，也可能大于振幅（只有振动的物体从平衡位置开始或从最大位移处开始的四分之一个周期内的路程才是等于一个根幅的长度）。在二分之一周期内，振动物体的路程总是振幅的2倍。从以上的分析可知：A、C选项正确。
解题思路评析应用振动的图像来分析问题是很直观的，简捷。虽然振动图像是表明振动物体的位移x与时间t的关系，但用它来分析振动物体在一段时间内的路程却比用计算法快捷。
例5一个质点作简谐振动的图像如图所示。则该质点（A）在0．035s时速度为正，加速度为负值（B）在0．04s时速度最大，加速度为零（C）在0～0．01s内，速度和加速度同向（D）在第二个0.01s内，回复力做负功出题目的：考查利用振动图像判断某一时刻每个物理量的状态的掌握。
解析：根据加速度方向与位移方向相反的特征可确定0．035s时，加速度为负值，0～0．01s内加速度为负值。根据加速度与位移大小成正比，可知，t=0．04s时，加速度最大，故B错误。
由图像知在t=0.035s前的0．03s的位移为零，而在该时刻后的0．04s的位移为正最大值。可见，0．035s时处于向位移正最大值运动的过程中，速度应为正值。另外，根据t=0．035s所对应的图线上该点切线斜率为正，也可确定速度为正值。同理，在0～0．01s内，速度为负值。故A、C均正确。
在第二个0．01s内，可判定回复力为正值，速度为负值，故回复力做负功。知D正确。
例6某弹簧振子的固有频率为2.5Hz，将弹簧振子从平衡位置拉开4cm后放开，同时开始计时，则在t=1.55s时A．振子正在做加速度减小的加速运动
B．振子正在做加速度增大的减速运动
C．振子在速度方向沿x轴正方向
D．振子的位移一定大于2cm
出题目的：考查利用振动周期的判断及振动中某一时刻各物理量的情况。
解：f=2.5Hz，则T=1f=12.5s=0.4s根据简谐周期性的特点。
v=1.55s=3×0.4s＋0.35s振子在t=1.2s时的运动状态与t=0时相同。则t=1.55s时的状态与t=0.35s时的振动状态相同。作出振子的简谐运动图像如右图所示。t=0.35s时，对应于图线上的P点，振于此时正在向正最大位移处运动，加速度正在增大，速度正在减小，速度方向为正方向，其位移一定大于A2=2cm，因此，选项B、C、D正确。
习题精选
1．如图所示，物体在第1s内通过的路程是A．5cmB．10cmC．15cmD．20cm2.做简谐运动的物体的位移-时间曲线如图所示，由图可知，s时物体的A．速度为正的最大值，加速度为零
B．速度为负的最大值，加速度为零
C．速度为零，加速度为正的最大值
