师:函数y=3sin2x+π3,x∈R的图像,可以看作用下面的方法得到:先将y=sinx上所有的点向左平移π3个单位长度,得到函数y=sinx+π3,x∈R的图像;再把后者所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),得到函数y=sin2x+π3,x∈R的图像;再把所得到图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),从而得到函数y=3sin2x+π3,x∈R的图像。
师:我们已经知道函数y=f(x)与y=f(ax)(a>0)是一种沿x轴方向上的伸缩变换,从例2中你能得到y=Asin(ωx+ψ)与y=sinx的图像之间的联系吗?
生:函数y=Asin(ωx+ψ),x∈R(其中A>0,ω>0)的图像,可以看作用下面的方法得到:先把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动ω个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变),再把所得各点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)。
我们小结一下上述步骤如下:
师:其步骤流程图如下:
sinx平移变换sin(x+ψ)周期变换sin(ωx+ψ)振幅变换Asin(ωx+ψ)
这一过程体现了由简单到复杂,特殊到一般的化归思想。
函数y=Acos(ωx+ψ),x∈R(其中A>0,ω>0)的简图,可以用类似方法画出。
(3)A、ω、ψ的物理意义
当函数y=Asin(ωx+ψ),x∈0,+∞(其中A>0,ω>0)表示一个振动量时,A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常称为这个振动的振幅。
往复振动一次所需要的时间T=2πω,称为这个振动的周期;单位时间内往复振动的次数f=1T=ω2π称为振动的频率。
ωx+ψ称为相位;x=0时的相位ω称为初相。
演练反馈
(1)要得到函数y=cos3x+π6图像,只需将y=cos3x的图像A.向右平移π6
B.向左平移π6
C.向右平移π18
D.向左平移π18
(2)函数y=Asin(ωx+ψ)的一个周期内图像如图3则y的表达式A.y=3sinx+π6
B.y=3sinx+π3
C.y=3sin2x+π6
D.y=3sin2x+π3
(3)把函数y=sinx+π8的图像向左平移π4个单位,再把图像上各点的横坐标压缩为原来的12,所得的解析式为。
【参考答案】
(1)C.把y=cos3x右移π18,得y=cos3x-π18=3x-π6
(2)D.因为T=5π6+π6=πω=2,又2-π6+π3=0与y=3sin2x比较知,是其左移π6而得,即y=3sin2x+π6=3sin2x+π3
(3)变换过程如下:第一步得:y=sinx+π4+π8=sinx+3π8
第二步得:y=sin2x+3π8
【总结提炼】
(1)了解三角函数图像的变化规律和方法,由y=sin→y=sinx(x+ψ),此步骤只是平移(φ>0,左移φ个单位;φ<0,右移φ个单位),而由y=sin(x+φ)→y=sin(ωx+ψ)可由二条思路:①y=sinx→y=sin(x+ψ)→y=sin(ωx+ψ)即先平移后压缩。
②y=sinωx→y=sinx→y=sin(ωx+ψ)即先压缩再平移。
不论哪一条路径,每一次变换都是对一个字母x而言的,如,y=sin2x的图像向右平移π6个单位,得到的应是y=sin2x-π6,而不是y=sin2x-π6;又y=sinx+π6的图像横坐标扩大到原来的2倍,应是y=sin2x2+π6而不是y=sin12x+π6。
(2)作函数图像的方法有多种,如描点法,五点作图法,根据奇、偶利用对称法等等,平移、变换法只是诸多作图法中一种,它与五点作图法同样重要,希望大家多练习,掌握变换次序上的技巧。
板书设计
课题1如何由y=sinx的图像作y=sin(x+ψ)的图像例12如何由y=sinx的图像作y=Asin(ωx+ψ)的图像例2变换法作y=Asin(ωx+ψ)的图像的流程图演练反馈总结提炼【习题精选】一、选择题
1下列命题中正确的是
A.将y=sinx的图像沿x轴向右平移π2个单位,得到y=cosx的图像B.函数y=sin(ωx+ψ)的图像,当ω>0时由y=sinx的图像向右平移ω个单位得到C.y=sin3x-π3的图像可由y=sinx-π3的图像上所有点的纵坐标不变,横坐标缩小为原来的13倍得到D.y=2sin3x的图像可由y=sin3x的图像上各点横坐标不变,纵坐标缩小为原来的12倍得到2函数y=3sin2x-π3的图像可以由函数y=3sin2x的图像经过下列哪种变换得到A.向右平移π3个单位
B.向右平移π6个单位
C.向左平移π3个单位
D.向左平移π6个单位
3在-π,π上既是增函数,又是奇函数的是A.y=sin2ψ-x
B.y=sinπ+x4
C.y=sinπ2+x2
D.y=cos3π+x2
5下图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图像,那么f(x)可以写成A.sin(1+x)B.sin(-1-x)
C.sin(x-1)D.sin(1-x)
6函数y=sin2x+5π2的图像的一条对称轴方程是A.x=-π2B.x=-π4
C.x=π8D.x=5π4
7已知f(x)=sinx+π2,g(x)=cosx-π2,则f(x)的图像A.与g(x)的图像相同
B.与g(x)的图像关于y轴对称
C.向左平π2个单位,得到g(x)的图像D.向右平移π2个单位,得到g(x)的图像8函数f(x)=cos(3x+ψ)的图像关于原点中心对称的充要条件是A.ω=π2B.ω=kπ+π2(k∈Z)
C.ω=kπ(k∈Z)D.ω=2kπ-π2(k∈Z)
9正弦函数y=f(x)的定义域为R,周期为π2,初相为π3,值域为[-1,3],则其函数式的最简形式为A.y=2sin4x+π3+1B.y=2sin4x-π3-1
C.y=-2sin4x+π3-1D.y=2sin4x-π3+1
10函数y=2sin(ωx-2)的周期为2(其中ω>0),则ω为A.π2B.π
C.2πD.4π
11函数y=lg(2cosx-3)的单调增区间为A.(2kπ+π,2kπ+2π)(k∈Z)
B.2kπ+π,2kπ+116π(k∈Z)
C.2kπ-π6,2kπ(k∈Z)