∴sin（α＋β）sin（α-β）sin2αcos2β=sin2α-sin2βsin2αcos2β……②又∵1-tan2βtan2a=sin2αcos2β-cos2αsin2βsin2αcos2β=sin2α（1-sin2β）-（1-sin2α）sin2βsin2αcos2β=sin2α-sin2αsin2β-sin2β＋sin2αsin2βsin2αcos2β=sin2α-sin2βsin2αcos2β……③由②、③得
sin（α＋β）sin（α-β）sin2αcos2β=1-tan2βtan2α本题还可以从函数名称来分析，左边是正、余弦函数，右边是正切函数，故可考虑从右边入手用化弦法，请同学们自己把上面过程反过来，从右边推出左边。
例5求证：cosα＋3sinα=2sinπ6＋α师：本题我们可以从角的形式来分析，左边是单角，右边是复角，如果从右边证左边则要把复角变单角（即利用和角公式）；如果从左边证右边则须配一个角π6，所以本题起码有两种证法。
证法1：右边=2sinπ6cosα＋cosπ6sinα=212cosα＋32sinα=cosα＋3sinα左边
∴原式成立
师：另一种证法根据刚才的分析要配出角π6，怎样配？大家仔细观察证法一就不难发现了。
证法2：（学生板书）
左边=212cosα＋32sinα
=2sinπ6cosα＋cosπ6sinα=2sinπ6＋α=右边∴原式成立
演练反馈
（1）化简=sin（α-β）sinαsinβ＋sin（β-θ）sinβsinθ＋sin（θ-α）sinθsinα（2）已知sinαcosβ=1，则sin（α＋β）的值A．不确定，可在[0、1］内取值
B．不确定，可在[－1、1］中取值
C．确定，等于1
D．确定，等于1或－1
【参考答案】
（1）原式=sinαcosβ-cosαsinβsinαsinβ＋sinβcosθ-cosβsinθsinβsinθ＋sinθcosα-cosθsinαsinθsinα=ctgβ-cosα＋ctgθ-ctgβ＋ctgα-ctgθ=0
（2）C
【总结提炼】
（1）利用“拆角”“凑角”变换是进行三角函数式求值、证明、化简的常用技巧，如：α=（α＋β）-β，2α=（β＋α）-（β-α），α＋2β=（α＋β）＋β。在三角形中，A＋B=π-C，B=π-（A＋C）等变换技巧，同学们应十分熟悉。
（2）本节课的例5，代表着一类重要题型，同学们要学习它的凑角方法，一般地Asinx＋Bcosx=A2＋B2sin（x＋θ），其中tanθ=BA（A≠0）。
（3）在恒等式中，实施特值代换，是一类重要的数学方法——母函数法，这种方法在数学的其他学科中，均有用武之地。它反映的是特殊与一般的辩证统一关系。
板书设计
课题：两角和与差的正弦例1例4
1公式推导例2例5
①sin（α＋β）=cos[π2-（α＋β）］例3演练反馈＝cos[π2-α-β］
总结提炼
=sinαcosβ＋cosαsinβ得到公式……S（α＋β）
把公式中β换成-β得公式……S（α-β）
2公式的结构特点
1°用单角函数表示复角函数
2°右边中两个积的函数名称不同
3°……运算符号同左边括号
中的运算符号一致（区别于C（α＋β）、C（α-β））
3折、凑角技巧
【习题精选】
基础题
一、选择题
1cos80°sin40°＋sin50°cos10°的值是A．12 B．22 C．32 D．-32
2sin（x＋27°）cos（18°-x）＋sin（18°-x）cos（x＋27°）等于A．-22
B．22
C．12
D．-12
3下列命题中是假命题的是
A．对任意的α和β角，有sin（α＋β）=sinαcosβ-cosαsinβ成立B．存在无穷多个α和β角，使得sin（α＋β）=sinαcosβ-cosαsinβ成立C．对任意的α和β角，有sin（α＋β）=sinαcosβ＋cosαsinβ成立D．存在无穷多个α和β角，使得sin（α＋β）=sinαcosβ＋cosαsinβ成立4已知ctgα=2，tan（α-β）=-23，则tan（β-2α）的值是A．-74
B．-18
C．18
D．47
5若1-tanA1＋tanA=4＋5，则cosπ4＋A=
A．-（4＋5）
B．4＋5
C．-14＋5
D．14＋5
6化简sin15°·cos9°-cos66°sin15°·sin9°＋sin66°的结果是A．tan9°
B．-tan9°
C．tan15°
D．-tan15°
二、填空题
712sin15°-32cos15°=。
8若tan80°-tan20°＋mtan80°tan20°=3，则m。
9若sinθ-π6=817，π6＜θ＜π2，则cosθ=。
10设α、β为锐角，且sinα=35，tanβ=17，则α＋β=。
三、解答题
11已知sin（α＋β）=35，cos（α-β）=-1213，且π2＜α＋β＜π，π＜α-β＜23π，求cos2α，sin2α，tan2α的值。
12设34π＜θ＜54π，
求
cosπ4sin34π-θsin（π-θ）-sinθ-π2
sinθ＋π4的值。
13已知tanα=3（1＋m），3（tanαtanβ＋m）＋tanβ=0，且α、β均为锐角，求α＋β的值。
14在△ABC中，已知tanA=13，tanB=-2，求∠C。
15已知sinα=msin（α＋β）（m＞1），求证tan（α＋β）=sinβcosβ-m。
综合题
一、选择题
162sin50°cos10°（1＋3tan10°）2cos5°的值为A．12
B．1
C．3
D．2
17在△ABC中，如果sinA=45，cosB=513，那么sin（A＋B）=
A．6165B．6365
C．3165D．5665
18若tanα，tanβ是方程x2-6x＋7=0的两个根，则α＋βA．34B．π4
C．2kπ＋34π（k∈Z）D．kπ-π4（k∈Z）
二、填空题
19已知sinα＋sinβ＋sinγ=0，cosα＋cosβ＋cosγ=0，则cos（α-β）=。
20已知sin（π＋θ）=-35，θ是第二象限角，tan32π＋θ=-2，θ是第三象限角，则cos（θ-θ）=。
21若tanα，tanβ是方程x2-3x-3=0的两个根，则sin2（α＋β）-3sin（α＋β）cos（α＋β）-3cos2（α＋β）=。
22已知5cosα-β2＋7cosβ2=0，则tanα2tanα-β2=。
23已知sinθ=45，θ是第二象限角，又tan（θ＋α）=1，则tanα=。
三、解答题
24化简：cos（α-15°）＋cos（α＋45°）-3cos（α＋15°）。
25已知在△ABC中，tanC＋tanB＋3tanBtanC=3，又3tanA＋3tanB＋1=tanAtanB，试判断△ABC的形状。
26化简：（tan10°-3）·cos10°sin50°。
27已知：cosα=17，cos（α＋β）=-1114，求cosβ的值。
28设m为实数，且点A（tanα，0），B（tanβ，0）是二次函数f（x）=mx2＋（2m-3）·x＋m-2图像上的点，求函数y=tan（α＋β）的最小值。
【答案与提示】
1C2B3A4C5B6B7-228-39153-83410π411sin2α=-1665，tan2α=-1663，提示：2α=（α＋β）＋（α-β）
12－113α＋β=π314π415提示：α=（α＋β）-β16D17D18D19-12提示：消去角γ205521－322－6，cos2α=6365提示：α-β2=α2＋α-β2，β2=α2-α-β223－7，提示：α=（θ＋α）-θ240，提示：α＋45°=（α＋15°）＋30°25顶角为120°的等腰三角形26－22712或-719828-34，提示：由已知tanα，tanβ必为方程mx2＋（2m-3）·x＋m-2=0的两根，tanα＋tanβ=3-2mm，tanαtanβ=m-2m，故tan（α＋β）=23-m，又由△≥0（m≠0），得m≤94（m≠0），怕以tan（α＋β）的最小值是-34。
