在生活中，尤其是在工程中物体所受力的作用线往往不在同一平面内，而是按空间分布，这样的力系叫空间力系。根据各力的作用线的相对位置不同，空间力系又分为空间汇交力系、空间平行力系和空间任意力系。
本章将从研究最基本的空间力系入手，进一步研究物体在空间力系作用下的平衡问题，重点讨论轴类零件的空间力系的平衡问题。另外，讨论和研究如何确定物体重心，为专业课学习，零部件的制造、开发打下基础。
4.1空间力的投影及空间汇交力系
研究空间力系，首先要研究空间力的分解，重点是空间力系在平面坐标系中的分解。
4.1.1力在空间直角坐标轴上的投影及其求解根据力在坐标轴上投影的概念，同样可以将一个任意力在空间直角坐标轴上进行分解，其分解的方法与平面内力的分解基本相同，具有同样的规律。
例如，若已知力F与3个坐标轴x、y、z的夹角分别为、β、γ时，如图41所示，则力F在3个坐标轴上的投影恰好等于力F的大小乘以力F与各坐标轴夹角的余弦，即。
由图41也可直接看出，若以F为对角线，以3个坐标轴为棱边做出正六面体，则此六面体的3条棱边之长恰好等于F在3个轴上投影的绝对值。
当空间力F与某一坐标轴，如z轴的夹角为γ；力F在垂直此轴的坐标面(xOy面)上的投影与另一坐标，如x轴的夹角φ已知时，则可先将力F投影到该坐标面内，然后再将力向其他两个坐标轴上进行投影。这种投影的方法，叫做二次投影法。
如图42所示，将F在3个坐标轴上进行投影，得在式(44)~(46)中，若以Fx、Fy、Fz表示力F沿直角坐标系x、y、z的正交分量，以i、j、k分别表示沿x、y、z坐标轴的单位矢量，如图42所示，则。(4-7)由此可知，当已知力F在3个坐标轴上的投影时，也可求出F的大小和方向，即。
例4.1已知力沿直角坐标轴的解析式为，试求这个力的大小和方向，并作图表示之。
解将给定的表达式与公式(47)相比较，得。
根据题意作图，如图43所示。
4.1.2空间汇交力系的合成与平衡条件
与平面汇交力系相同，对空间汇交力系也分别用几何和解析法进行研究、分析。若分布在空间的若干个力的作用线汇交于一点，则称由这些力组成的力系为空间汇交力系。空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。其矢量表达式为。
由于空间汇交力系合成一个合力；因此空间汇交力系平衡的必要和充分条件是，该力系的合力为0，即。
要使式(49)成立，则必须满足。
结论：空间汇交力系平衡的必要和充分条件是，该力系中所有各力在3个坐标轴上的投影的代数和分别为0。
方程(410)也叫做空间汇交力系平衡方程。
在应用空间汇交力系平衡方程解决具体问题时，与平面汇交力系所不同的是，要列3个方程，并求3个未知数。在解决实际问题时，尤其是在工程应用时，一定要弄清题意，搞清其存在的几何关系，并选取适当的坐标轴。坐标轴的选取对提高解决问题的能力，提高解题的技巧具有重要意义。
例4.2物体所受重力为FG，用杆AB和位于同一水平面的绳子AC与AD支承，如图44所示。已知FG=1000N，CE=ED=12cm，EA=24cm，β=45°，不计杆本身的重量。求绳子的拉力和杆所受的力。
解取A为研究对象。
由于作用于A点的力有重力、绳子的两个拉力及杆的约束反力，如图44(b)所示。
因为杆本身的重量，则反力必沿杆AB的轴线，设该力为拉力，则相等相反的力就是杆所受到的力。由题意知，上述力组成一空间汇交力系。
取如图44(b)所示的坐标系，由于对于z轴的平衡方程为。
式中，负号表示杆所受的力是压力。
应用空间力的投影公式，将各力的投影汇集在水平面xy上，得一平面汇交力系，如图44(c)所示，其中FS是FS的投影，其大小为FS=FSsinβ。则即绳子的拉力大小均为559N，方向如图44(c)所示。
4.2力对点和轴的矩
4.2.1力对点的矩
在前面，我们已经学习了平面力系中力对点的矩的概念。实际上平面力系中力对点的矩是空间力系中力对通过矩心并垂直于平面的轴的矩。例如，对于一个平面来说，齿轮的转动可以看做是绕轴心的转动，但也以看作是在空间内齿轮绕z轴的转动。也就是说，对于一个观察者来说，平面与空间有时是相对而言的，但对于一些比较具体和抽象的物体的运动，其空间与平面的区分就十分明显了。
定义4.1力对轴的矩是使刚体绕轴转动的效应，用Mz(F)来表示。在国际单位制中，力对轴的矩的单位是牛顿·米，即N·m。
注意：在力与轴垂直的特殊情况下，力对轴的矩与力对点的矩是一致的。
力对点的矩的大小用公式表示为Mz(F)=±Fh。
如图45所示，以r表示力作用点A的矢径，则矢积r×F的模等于三角形OAB面积的两倍，其方向与力矩矢Mz(F)是一致的。
因此，可得Mz(F)=r×F。
式(411)为力对点的矩的矢积表达式，即力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。
若以矩心O为原点，作空间直角坐标系Oxyz，用单位矢量表达式表示，则矢径r和作用力F将分别是得行列式的解(参考高等数学有关知识)为。
由于力矩矢量Mz(F)的大小和方向都与矩心O的位置有关；故力矩矢的始端必须在矩心，不可任意移动，这种矢量称为定位矢量。
4.2.2力对轴的矩
如图46所示，力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的量度。其代数量的大小等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面和轴的交点的矩，用公式表示为式(414)中的正负号表示力对轴的矩的转向。通常规定：从轴的正向看去，逆时针转动的力矩为正，顺时针转动的力矩为负。
力对轴的矩的单位也是牛顿·米，即N·m。
在计算力对轴的矩时要注意：
(1)当力的作用线与轴相交，或力的作用线与轴平行时，也就是说，当力矢与轴共面时，力矩为0；(2)空间力系的合力对某一轴的矩等于力系中各力对同一轴的矩的代数和，用公式表示为在生产实际和工程及实验计算时，在注意区分空间力系与平面力系的同时，要合理正确地选择坐标轴，以取得最佳解决问题的方案。
例4.3铅垂力F=500N，作用于曲柄上，如图47所示。求该力对于各坐标轴的矩。
解力F对于各坐标轴的矩分别为Mx(F)=-F×(0.30+0.06)=-180N·m，My(F)=-F×0.36×cos30°=-155.9N·m，Mz(F)=0。
例4.4传动轴上圆柱斜齿轮所受的总啮合力为Fn，如图48所示。齿轮压力角为，螺旋角为β，节圆半径为r。求该力对于各坐标之矩。
解将啮合力为Fn分解为沿坐标轴的3个分力，如图48(b)所示。则根据合力矩定理，即力矩的性质，有力Fn对于各坐标之矩分别为Mx(Fn)=Mx(F)+Mx(Fy)+Mx(Fz)=Fnrcossinβ-12。
4.3空间力系和平衡方程
空间力系的简化与同平面力系一样，在此不作叙述。总之，空间任意力系向任意一点O简化，可得到一个力和一个力偶。这个力等于各力的矢量和，并通过O点；这个力偶的矩矢等于各力对O点的矢量和。
空间任意力系平衡的必要和充分条件必然是：力系的主矢和力系对任意一点的主矩都等于0，即。
因此，空间力系平衡的必要和充分条件是：力系中各力在直角坐标系的每一个轴上的投影代数和分别为0；各力对3个坐标轴的矩代数和也分别等于0。
不难看出，利用公式(416)可列出含有6个未知量的方程。
空间力系平衡方程包含了所有特殊力系的平衡方程。下面讨论几种特殊情况，在应用时要加以注意。
1.空间汇交力系
2.空间平行力系
如图49所示，取坐标轴z与各力平行，则各力对z轴的矩都等于0，同时各力在x、y两坐标轴上的投影也等于0。于是都成立。
因此，空间平行力系的平衡方程为。
3.空间力偶系
因为空间力偶系合成的结果是使一个力偶在空间任意系平衡方程中力的3个投影方程成了恒等式，所以空间力偶系的方程为。
4.4空间力系和平衡方程的应用
例4.5AB、AC、AD铰接于A点，其下悬挂一重力为FG的物体，如图410所示。其中，AB与AC互相垂直且长度相等，B、C、D均为铰接点。若FG的大小为1000N，三根杆的自重均不计，试求各杆所受的力。
