仿照证明横截面上正应力分布的方法，可知斜截面上的应力也是均匀分布的。若以p表示斜截面上kk上的应力，于是有。
将p分解成垂直于斜截面的正应力σ和相切于斜截面的剪应力τ，则。
由公式(54)和(55)可知，当=0时，斜截面kk成为垂直于轴线的横截面，σ达到最大值，且。
可见，轴向拉伸(压缩)时，在杆件的横截面上，正应力为最大值；在与杆件轴线成45°的斜截面上，最大剪应力在数值上等于最大正应力的一半。此外，当=90°时，σ=τ=0，这表明在平行于杆件轴线的纵向截面上无任何力。
5.4拉(压)杆的变形与胡克定律
5.4.1轴向拉伸或压缩时的变形
当杆件受轴向拉伸或压缩时，由实验可观察到杆件长度和宽度都会发生变化。轴向拉伸杆，纵向伸长而横向缩短；轴向压缩杆，纵向缩短而横向增大。
以轴向拉伸为例，如图56所示，设有一杆的原长为L0，宽度为b0，受拉力F作用后，其长度由L0变为L1，宽度由b0变为b1，则杆延纵向的伸长为沿横向的缩短为。
和称为绝对变形。
为了确切地描述拉(压)杆变形的特性，我们将拉(压)杆伸长和压缩的变形与其原长的比叫轴向线应变和横向线应变，又叫轴向相对形变和横向相对形变，分别用符号和1表示，用公式表示为。
由理论和实践可知，和1的符号恰好相反，当为正时，而1为负。
根据高等数学的有关知识，拉(压)杆的变形如果是非均匀的，则可从构件内某一点C处取一单元体积(微小的变量)为研究对象，如图56所示，单元体沿x轴方向的棱边原长为x，受力变形后长为x+u，则其绝对变形为u。比值ux称为平均线应变。当x0时，比值即为某一点处沿x方向的线应变，记为x，即。
应变无量纲，它是材料的另一种弹性常数。
5.4.2变形系数
实验表明，当拉(压)杆内应力不超过材料的比例极限时，横向应变1与轴向应变成正比，即式中，μ叫横向变形系数或泊松比。
5.4.3胡克定律
大量的实验表明，工程上使用的许多材料在受拉伸或压缩时，当应力不超过某一数值时，其变形与轴力F及杆件的原长L成正比，与杆件的横截面积A成反比，即。
引入常数E。
这一结论称为胡克定律。公式(57)适用于杆件横截面面积A和轴力F为常数的情况。
若杆件横截面沿轴线变化，但变化平缓，如图57所示，此时轴x也沿轴线变化，但作用线与轴线重合。这时，可用相邻的横截面从杆中取出长为dx的微段，在这一微段应用公式(57)，得微段的伸长量为。
由此可知，杆的横向应变也与应力成正比。但要注意，横向应变为负值。对于各向相同的材料，有了弹性模量E和泊松比μ，就可以确定材料的弹性性质。
例5.3图58所示是连接螺栓M12，其内径d1=10.1mm，拧紧后在L=80mm的计算长度内产生的绝对形变L=0.03mm。
螺栓材料的弹性模量E=210GPa，泊松比μ=0.3，试计算螺栓横截面上的正应力和横向变形。
解当螺栓的螺纹部分较长时，可将其简化成直径为内径d1的等直杆，如图58(b)所示。由于拧紧后螺栓的应变为即螺栓直径缩短了0.00114mm。
例5.4假如图57中变化的截面杆是圆锥的一部分，左右两端的直径分别为d1和d2，不计杆的重量，只在两端作用轴向拉力F，试求杆件的变形。
解设距左端为x的横截面的直径为d，按比例关系可以求出。
5.5拉(压)杆的强度条件及其应用
通过对拉(压)杆应力的讨论，可以求出杆件的最大应力；但要判断杆件是否安全，这是远远不够的，还必须了解材料破坏时的应力。
材料破坏时的应力称为危险应力或极限应力，用σb表示。
在材料的强度计算中，将极限应力除以大于1的数，所得结果称为许用应力，用[σ]
表。
式中，n称为材料的安全系数。极限应力由试验测定。表51给出了几种常用材料的许用应力。
为了保证杆件具有足够的强度，要求杆件工作时的最大应力不得超过材料的许用应力，即。式(510)为轴向拉伸或压缩时的强度条件。
应用强度条件，可以解决以下3种类型的问题。
1.校核强度
已知材料的许用应力[σ]、横截面面积A及所受的荷载，应用公式(510)可校核杆件是否满足强度要求。
2.确定许可荷载
已知材料的许用应力[σ]、横截面面积A，可按强度条件确定杆件所允许的最大轴力，即FN，max[σ]A。
通过最大轴力FN，max，即可求出许可荷载。
3.设计截面
已知材料的许用应力[σ]及所受的荷载，按强度条件可计算横截面面积A，即AFN，max[σ]。
例5.5三铰拱屋架的拉杆用16锰钢制成，材料的许用应力[σ]=210Pa，屋架的尺寸如图59所示。它所受的竖向均布载荷的集度为q=17kN/m，试按强度条件选择钢杆直径。
解(1)画出屋架的计算简图，如上图59(b)所示。
(2)求屋架支座的反力。由屋架整体的平衡方程ΣF=0得FhA=0。
由屋架结构的对称关系得。
(3)求拉杆AB的轴力。取半个屋架为隔离体，如图59(c)所示，由平衡条件ΣMC=0得。
(4)求钢拉杆的直径。由钢拉杆的强度条件，得由此求出d37.31mm；所以钢杆的直径取38mm。
例5.6气动夹具如图510所示。已知气缸内径D=140mm，缸内气压p=0.6MPa。活塞杆材料为20钢，[σ]=80Pa。试设计活塞杆的直径d。
解由于活塞杆左端承受活塞上的气体压力，右端承受工件的反作用力；故为轴向拉伸。其拉力F可由气体的压强公式求得，即。
而活塞杆的轴力为FN=F=9.24kN。
根据强度条件公式，活塞杆横截面面积应满足。
最后将活塞杆的直径取D=0.0122m=12mm。
例5.7如图511所示，某张紧器工作时承受的最大张力F=30kN，套筒和拉杆材料相同，许用应力[σ]=160MPa，拉杆上有M20螺纹。试校核其强度。
解(1)内力分析。套筒、拉杆均承受张力F的作用而受拉，其轴力为FN=F=30kN。
(2)应力分析。套筒、拉杆的横截面积不等，拉杆有螺纹部分的横截面积较其他地方小。当轴力一定时，横截面积最小的截面上各点的工作应力最大，这些点是危险点；所以需要先计算出最小面积Amin。
M20螺纹的内径d1=17.29mm，则。
套筒的内径d2=17.29mm，外径D2=40mm，则。
故最大工作应力在拉杆上M20螺纹所在截面上各点处，其值为。
(3)强度校核。因为所以张紧器满足强度要求条件。
根据例5.5~例5.7不难发现，利用拉(压)杆强度条件解决具体问题的基本方法是：
第一，分析杆件或结构所受到的内力，必要时对杆件或结构进行受力分析(可或整体或隔离或一部分一部分地进行)；第二，进一步分析应力，并计算出应力的大小；第三，运用强度条件公式，结合有关数据进行计算，要注意公式内单位的换算，尤其是压强公式中各物理量的物理意义及单位的应用一定要明确；第四，强度校核，在校核时，要注意说明结果。
5.6小结
(1)构件承载能力的3个因素是强度、刚度和稳定性。
(2)材料力学的基本假设包括连续性性假、均匀性假设、各向同性假设和小变形假设。
(3)杆件的共同的特点是：作用于杆件上的外力或外力的合力的作用线与构件轴线重合，杆件发生沿轴线方向的伸长或压缩。
(4)轴力的正负号由杆的变形情况确定。当轴力使杆件受位伸时，FN为正值；反之，杆件受压缩时，FN为负值。在研究一般问题时，先假定其拉力。
(5)截面法一般分为3步，即六字方针包括截开、代替和平衡。
(6)轴力图。在工程中，轴力随截面位置不同而变化的情况用轴力图来表示。
(7)内力分布的集度在工程中上通常称为应力。应力的计算公式为。
应力p是一个矢量，它可以分解成垂直于该截面的分量σ和与该截面相切的分量τ。
(8)拉(压)杆斜面上的应力可分解成垂直于斜截面的正应力σ和相切于斜截面的剪应力τ。
(9)变形系数。当拉(压)杆内应力不超过材料的极限时，横向应变1与轴向应变成正比。
(10)胡克定律。工程上使用的许多材料，在受拉伸或压缩时，当应力不超过某一数值时，其变形与轴力F及杆件的原长L成正比，与杆件的横截面积A成反比，即(E为常数)。胡克定律适用于杆件横截面面积A和轴力F为常数的情况。
(11)为了保证杆件具有足够的强度，要求杆件工作时的最大应力不得超过材料的许用应力。
应用强度条件，可以解决校核强度，确定许可载荷和设计截面。
思考与习题
51试求图512中各杆指定截面的轴力，并作轴力图。
52作用于如图513所示零件上的拉力F=38kN，试问零件内最大拉应力发生在哪个截面上？并求出其值。
53如图514所示，油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。已知油缸内径D=350mm，油压p=1MPa。若螺栓材料的许用应力[σ]=40MPa，求螺栓的内径。
54在图515中，哪些杆件是轴向拉伸(压缩)的杆件？
55如图516所示，一吊环螺钉，其外径d=48mm，d1=42.6mm，吊环螺钉重FG=50kN。求螺钉横截面上的正应力。
56木立柱的受力图如图517所示。立柱横截面积为正方形，边长为a=200mm，材料符合胡克定律，弹性模量E=10GPa，不计立柱自重。求：(1)立柱总的形变；(2)立柱各段的纵向应变。
57如图518所示，轧钢机压下螺旋杆时所受的最大压力F=800kN，试求其最大正应力。
58如图519所示，拉杆承受轴的拉力F=10kN，杆的横截面面积A=100mm2。如以表示斜截面与横截面的夹角，试求为0°、30°、45°、60°、90°时各斜面上的正应力和切应力。
59汽车离合器踏板如图520所示。已知踏板受到压力FQ=400N的作用，拉杆1的直径D=9mm，杠杆臂长L=330mm，l=56mm，拉杆的许用应力[σ]=50MPa。
试校核拉杆1的强度。
510A、B两点之间水平地拉着一根直径d=1mm的钢丝，在钢丝的中点C加一竖向载荷F。已知钢丝由此产生的线应变为0.0035，材料的弹性模量E=2.1×105Pa，钢丝自重不计。试求：
(1)钢丝横截面上的应力(假设钢丝经过冷拉，在断裂前符合胡克定律)；(2)钢丝在C点下降的距离；(3)此时载荷F的值。
