拓扑结构为我们提供了一个对空间的领域、极限及连续性等直观概念的抽象的数学表述。拓扑反映了一个集合中各个元素之间的亲疏远近的关系。单单定义一个集合，它的各个元素可以说一律平等，彼此互不相关。而拓扑结构则反映了元素之间的亲密程度。最直观的拓扑结构是欧氏空间中两点间的距离。
拓扑学是数学的一个分支，它研究几何图形在一对一双方连续变换下的不变性质。例如，画在橡皮膜上的图形，当橡皮膜上受到变形，但不破裂或折叠时，有一些性质保持不变，例如曲线的闭合性、两条曲线的相交性等。拓扑学包括点集拓扑和代数拓扑等。几何学中的整体性质十分引人注目，例如，欧拉(L．Euler，1707-1783年)的多面体定理是说，凸多面体的面数F、棱数E、顶点数V之间有下述关系：F+V—E=2。欧拉所研究的是凸多面体的整体性质，和该多面体的形状、大小没有关系。几何拓扑正是研究几何中整体性质的科学。在拓扑的同胚意义上，一个圆和一个正方形是没有区别的，它们都把一个平面分成两个连通部分。我们通过连续变换，可以将圆变成正方形，反之亦然。
2．数学的抽象化程度越来越高
数学的分科越来越细，它的内在联系被揭示得越来越深刻。20世纪的几何学以拓扑学的形式进入了新阶段。代数拓扑和微分拓扑成了20世纪数学的“女王”。20世纪的代数学从解代数方程的研究转向对代数结构如群、环、域、理想、模等的研究。20世纪的分析学是无限维空间上的微积分，即泛函分析。它从原来研究数与数的关系转向研究函数与函数的关系(算子)。这样，大学数学的三个主干科目高等几何、高等代数和数学分析(称为“老三高”)，就分别发展为它们的后继科目拓扑学、近世代数和泛函分析(成为“新三高”)了。
3．电子计算机推进了数学的发展
正如日本数学教育协会主席滕田宏教授所说，计算机对于数学，就像望远镜对于天文学、显微镜对于生物学那么重要。数学的研究离不开计算机，而计算机科学电推进了数学的发展。表现为：
(1)计算机绘图，通过图形的动态显示，揭示图形的变换性质和位置关系。
(2)方程的数值求解，借助于计算机可以提高效率，这有助于数学从理论科学向实验科学发展，现在已经形成了实验数学学派。
(3)数学命题的计算机证明。例如，利用计算机，可以把复杂的四色定理转化为许多个小命题，逐个加以证明。我国的吴文俊院士、张景中院士，在计算机证明方面取得了突破性的成果。
(4)计算机科学促进了与之相关的离散数学的蓬勃发展。大学普遍开设了离散数学、组合数学课程。其中离散数学的一些初等内容，还将进入中学数学。
4．应用数学蓬勃发展
在经济建设、科学技术与军事、安全方面，数学都有广泛的应用。与应用数学相关的一些新分支应运而生，兹举数例予以说明。
(1)运筹学。
如果有几件事情(工作)都要做，这就发生如何合理安排，以使收益最大(时问最短、劳动力或成本最省等)的问题，前苏联数学家康脱洛维奇(Kantomvich，L.V，1912—1986年)教授在这方面作出了创造性的贡献。
运筹学起源于二战中的军需管理，这是20世纪40年代开始形成的一门学科。主要研究军事、经济活动中，能用数量来表达的有关运用和策划、管理方面的问题。它根据问题的要求，通过数学的分析和运算，作出综合性的合理安排，以达到较经济、较有效地使用人力、物力的日的。近年来，运筹学的理论和应用方面都有较大的发展，形成的主要分支有规划论、对策论、排队论及质量控制等分支。
(2)对策论。
对策论也称为博弈论，是运筹学的一个分支。它最初是运用数学方法来研究有利害冲突的双方的竞争性活动中，是否存在自己制胜对方的策略，以及如何找出这些策略的问题。
例如，在战争中可以考虑如下情况：甲方用一定数量的飞机向乙方投弹，可能有几条进攻路线。乙方备有若干高射炮，可以布置在甲方可能进攻的路线上。这时，甲方为了使自己获得最大的成功，就要考虑，是集中一路进攻还是几路进攻？而乙方也要考虑甲方可能进攻的方式，并据此布置炮火。此类问题中，把双方的损耗用数量来描述，寻找双方的最优策略问题，这是对策论研究的内容。对策论的发展，不仅要考虑双方参加的竞争活动，还要考虑多方参加的活动。在这些活动中，参加者不一定是完全对立的，还允许他们结成某种联盟。活动的结果，也可能要通过参加者多次决策才能决定。对策论在军事斗争以及人和自然的斗争中都有用。
(3)规划论。
规划论是运筹学的一个分支，它主要用于研究规划管理中有关安排和估值的问题。一般可以归结为在满足既定要求下，按照某一衡量指标来寻求最优方案问题。典型的例子是所谓运输问题。就是将数量和单位运价给定的某种物资从供应站运输到消费站，要求在供销平衡的同时，定出流量和流向，使总运输费为最小。设吨公里运价一定时，必须满足的条件称为约束条件，要衡量的目标为目标函数，如果目标函数和约束条件都是线性的，这类问题称为线性规划问题，否则，称为非线性规划问题。如果所考虑的问题与时间有关，则称为动态规划问题。当前，线性规划的某些思想方法已经进入高中数学课程。
(4)排队论。
排队论是公用事业中的数学方法。它是运筹学的一个分支。主要研究随机性的拥挤现象。它起源于对自动电话的研究。由于次数的多少和通话时间的长短都是不确定的，那么，叫号多了，叫通的机会虽然较大，但同时线路空闲的机会也较大。因此，服务质量和设备的利用率之间就有了矛盾。像这种现象是大量存在的，如自动机床的看管，机场、码头的设计等。所有这些问题，都可以形象地描绘为顾客(如电话用户、发生故障的机床等)来到服务台前(如电话线路、维修工人)要求接待，如果服务台已经被其他顾客占用，那就得等待，就得排队。另一方面，服务台也时而空闲，时而忙碌。排队论的主要内容之一是，研究等待时间、排队长度的概率分布，根据服务台是一台或多台的情况，又可分为单线或多线排队问题。
(5)最优化。
人们希望在一定的条件下，在多种策略中，选取其中一种，以获得最大利益。在数学上，这要求目标函数(代表利益)达到最大值。目标函数也可以代表损失，于是有时候又要求它达到最小值，这类问题往往化为目标函数的条件极值，或化为变分问题。优选法、最优控制都致力于研究最优化问题。线性规划、非线性规划也是最优化问题。20世纪70年代，华罗庚教授率领研究小组深入工厂、农村、矿山，大力推广优选法和统筹法，足迹遍及23个省市，成果遍及许多行业，解决了许多问题。如上海科技大学数学系，利用最优化数学，制成“E型电源变压器计算机优化设计系统”，可以缩短设计周期，节约生产成本。最优化的思想方法已经在中学数学课程中得到反映。
(6)统计科学。
统计科学是处理信息数据的一门科学，包括数据的收集、整理、分析及从中得到结沧。张千里、陈希儒等教授所开展的现场统计，对国家经济建设起了很好的作用。随着从经济、遥测、实验室等不同渠道产生的大量数据涌入科学，统计方法就成了外部世界的信息同运用数学方法加以分析相结合的主要工具。概率统计的思想方法，在我国中小学数学新课程中已经得到很大的加强。
(7)动力系统。
动力系统主要研究随时间变化的自然现象，特别是某时刻的状态依赖于在此以前状态的现象，通常的过程是：首先确定研究的对象，并给出某些必要的假定；把假定翻译成数学关系式，一般变成以迭代形式给出的数列；对关系式进行分析处理，获得适当的数学结论。把所得结果还原，从而获得对所研究的对象的进一步的认识。值得注意的是：数学关系式并不就是解答，还要对模型进行研究；解答必须有实际意义，如无实际意义，还要重新考虑。迭代过程会出现混沌，这在处理实际问题中有许多重要作用。
混沌是一种无序状态，但是它却由一个确定的非线性函数或非线性方程所产生。过去我们对无序的过程毫无办法，现在似乎找到一条新的研究途径，这就是当前混沌研究如此热的一个原因。
应用数学的各个领域通过相互制约紧密联系起来，它的发展将有力地推动中学数学课程改革。
三、教师专业发展的因素
数学教师是数学课程设计的参谋者，也是课程实施的执行者，课程评价的主要参加者，他们在数学课程的发展中发挥越来越重要的作用。
1．在课程设计中的参谋作用
课程的设计是指，在教育领导部门的宏观指导下，对各学科课程的基本理念、教学目标、教学内容、教材编写和教学评价的基本规划。课程研究人员、各学科的专业人员分别是课程设计的骨干，数学教师也能对课程的设计提出有价值的建议。课程的设计要根据以下标准。
(1)社会性标准。
①课程要服从我国社会主义建设和国家发展的需要。
当前，我国现代化建设面临更为伟大、更为艰巨的任务，迫切需要基础教育加快全面推进素质教育的步伐，努力培养具有创新精神和实践能力的、有理想、有道德、有文化、有纪律的德、智、体、美等全面发展的一代新人。为此，2001年《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》除了提出知识与技能方面的目标外，还提出了数学思考、解决问题情感与态度等方而的目标，体现了全面发展的要求。
②课程要适应国民经济与科学技术的发展。
改革开放以来，我国经济生活中涌现了许多新鲜事物，如股票与股市、存款与利息、产销与利润、投资与效益等，这些社会大众所关心的事物，在课程与教材中应该得到适当的反映。
③课程要反映国家对下一代的期望。
课程应该在造就21世纪的接班人方面作出贡献，让学生掌握数学的基础知识与初步技能，形成良好的科学素质与创新精神，从而在未来世界中为国家争光，为人类造福。这种要求在2001年《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》有所体现。
(2)科学性标准。
课程应该正确反映数学学科的观点、方法与规律。我国数学课程标准(包括《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》和《普通高中数学课程标准(实验)》)所提出的设计思路，力求体现数学的特点，也表达了数学教学的基本要求。
①体现数学学习的特点。
《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》所提出的发展学生的数感、符号感、空问观念、统计观念、应用意识和推理能力，体现了数学学习的要求，它超越了知识与技能的局限，发展到能力、素质与观念的层面上。
②反映数学的体系。
中学数学各部分的内容应当适当地安排，既能反映数学各部分的紧密联系，又能体现数学的整体性，以及各部分的相对独立性。例如，根据课程标准，对初中有关平面几何的内容作了较大的精简，但是试图通过扩大的公理体系，让学生初步感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值。
③适应数学的发展。
在可能的情况下，数学课程应该适当反映近现代数学的某些成果和思想方法。例如，集合的思想、公理化的思想、映射变换的方法。《普通高中数学课程标准(实验)》较多地引入了这些成果，如概率统计、矩阵、算法、微积分等。数学教师对如何在课程中体现数学的特点，应该有较深切的体会，因而能够对课程的科学性提出较中肯的意见。
(3)大众性标准。
当前数学已经深入到社会生活的各个方面，并将成为当今社会成员必需的文化素养。因此，数学课程应该适应大众的需要，面向全体学生。这个观点已经反映在2001年的《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的理念中。
①反映公共的需要。
各行各业对数学的需要各不相同，但是也有共同的基础。高中数学的必修课将是各行业共同需要的基础。中学数学还应该培养学生的实践能力与应用能力。
②适应学生的差异。
学生的数学能力和学习水平存在差异，课程标准要承认差异，不能强求一致。数学课程标准的理念指出，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。为了适应学生的差异，高中数学将加强选择性，开设较多的选修课，让学生根据各自需要和志向进行选择。但是选修模块过多，也必然给教学安排、考试命题等方面造成困难。
③为深造打基础。
高中数学的选修课，应该与高等教育中不同层次、不同专业方向对数学的要求有适当的联系，高中数学课程正是按照这种设想，被划分为若干模块，学生可以根据个人实际情况，在教师的指导下进行选择。这样，学生需要为自己的未来承担更多的责任。数学教师对学生的数学学习情况最了解，他们能够对课程提出宝贵意见，使课程更加切合学生的实际。但是，选修模块过多，也必然给教学安排以及考试命题等方面造成困难。
(4)可行性标准。
数学课程应该得到教师的理解和支持，并受到学生的欢迎。
①适应师生水平。
