时间序列是指某种经济现象的观测值按时间先后顺序排列而形成的一列数列。时间序列预测法是指运用数学统计方法，找出时间数列发展变化的规律性，并将时间外推或延伸，以预测经济现象未来可能达到的水平。这种方法是将影响预测目标的一切因素都由“时间”综合起来加以描述，考虑影响预测目标的因素只是时间，所以分析的关键是寻求预测目标随时间变化的规律。
时间序列反映的是某一类经济现象随时间发展变化的特点，这种变化是由众多因素共同作用的结果，不同因素影响不同，形成的结果相应也不同。时间序列按影响因素作用的效果可分为四类：长期趋势变动、季节变动、循环变动、不规则变动。不同类型的时间序列适用不同的预测方法。
一、时间序列的类型
（一）长期趋势变动
长期趋势变动是指某种经济现象的时间序列在一个比较长的时期内，由于受到稳定性因素影响，观测值沿着一个方向变化，呈现逐渐上升或逐渐下降趋势，也可以表现为只围绕某一常数值而无明显增减变化的水平趋势。如人口的出生率高于死亡率引起人口总量上升，近10年我国经济持续增长等，都表现为具有长期趋势。为趋势型时间序列，其中为直线趋势型时间序列，也称斜坡型时间序列；为曲线趋势型时间序列。
（二）季节变动
季节变动是指时间序列受到季节性因素影响而发生的在一定时间间隔重复出现的周期性变动，通常以一年为周期。如由于气候条件、风俗习惯、节假日等原因，引起某些商品的生产和消费在每年相同时段出现旺销和淡销的规律性变动。为季节变动型时间序列。
（三）循环变动
循环变动是指经济现象以若干年为周期的涨落起伏相间的变动。循环变动不同于长期趋势变动，它所表现的不是单一方向（上升或下降）的持续运动，而是涨落相间的波浪式发展变化，循环变动也不同于季节变动，季节变动一般以一年、一季或一月等为一个周期，其变动情况一般可以预见，而循环变动没有固定的循环周期，一般在数年以上，各周期长短和幅度的规律性较难把握。为循环变动型时间序列。
（四）不规则变动
不规则变动是指经济现象由于突发事件或偶然因素影响使时间数列呈现非周期性、非趋势性的随机变动。例如，由突发的自然灾害、意外事故或重大政治事件所引起的剧烈变动，也包括大量随机因素干扰造成的起伏波动，这种波动无法预知，因此不规则变动的经济现象未来发展情况是无法预测的。
一个时间序列是上述一种或几种变动成分的混合，因此在运用时间序列进行分析预测时，应首先分析时间序列的变动特点符合哪种情况，不同的变动类型适用不同的数学模型；属于几种变动混合的，还要将影响因素进行分解，建立合成的数学模型才能进行预测。
分析时间序列变动特点的方法可使用比较简单的散点图法，所谓的散点图，是将时间序列历史数据与对应的时间编制成表，然后在直角坐标系中进行描点，一组数据用一个点表示，这样得到的图形就是时间序列的散点图。根据散点图的不同趋势确定其趋势变动的类型。
下面着重介绍长期趋势变动和季节变动时间序列的预测方法，循环变动和不规则变动时间序列需要经过比较复杂的因素分解和统计处理，适用的预测模型比较复杂，在此不要求掌握。
二、直线趋势预测法
（一）算术平均法
算术平均法是以一定时期内时间序列各期数值的平均数作为预测依据，以此来推算趋势预测值。该法适用于直线型变化趋势的时间序列，是预测中最简单的一种方法，又分为简单算术平均法和加权算术平均法两种。
1.简单算术平均法
简单算术平均法就是将一定观测期内预测目标的时间序列的各项求和，取其平均值，并将其作为下期预测值。用公式表示为
x
式中：x――预测值；
x1，x2……xn――预测目标观测期内的实际值；
n――时间序列的项数。
“例12-1”某公司2008年1月至6月的销售额资料，试预测7月份的销售额。
某公司2008年1月至6月的销售额资料（单位：万元）
解：以6个月的销售额的简单算术平均数作为预测值，则7月份销售预测值
x≈31.3（万元）
简单算术平均法简单易行，适合比较稳定情况下的商品需求和生产预测，但这种平均数法不能充分反映出序列的季节变化，一般适用于对预测值精度要求不高的短期预测，如果时间序列有特别大或特别小的不均衡数据时，用简单算术平均数代替预测值，其代表性会受到影响。为体现出时间序列各数据对平均数的不同影响，常使用加权算术平均数法。
2.加权算术平均法
在时间序列预测中，各期的统计数据对预测值的重要性是不同的，近期的统计数据与远期的统计数据相比，包含有更多的变化趋势信息，由于简单算术平均数只能反映一般的平均状态，不能体现重点数据的作用，加权算术平均数法就是通过对不同数据按其重要性乘以不同的权数，将这些乘数相加求和除以权数之和，求得加权平均数，以此来作为预测趋势值，其计算公式为
x
式中：x――加权平均数，即预测值；
x1，x2……，xn――预测目标观测期内的实际值；
f1，f2……，fn――各期实际值的权数。
使用加权算术平均法预测的关键是权数的确定，而权数的确定是凭借预测者个人经验来主观判断的。一般来说，必须体现出影响力大的观测值权数亦大这一原则，在时间序列中离预测期越近的数据对预测值的影响就越大，应取较大的权数；离预测期远的数据对预测值的影响较小，应取较小的权数。当时间序列变动幅度较大时，为体现出各数据之间较大的差异，可以由远及近取等比数列作为权数，当时间序列数据变动幅度较小，数据之间的差异不大，可以由远及近取等差数列作为权数。
“例12-2”以“例12-1”资料为例，采用加权算术平均法预测7月份的销售额。
解：各月销售额数据变动不大，因而取等差数列为权数，即1至6月销售额权数依次取1、2、3、4、5、6时，7月份的销售额预测值
x≈31.48（万元）
（二）移动平均法
移动平均法是将时间序列的数据由远及近按一定的跨越期进行平均的一种预测方法，随着观测期的“逐期推移”，观测期内的数据也随之向前移动，每移动一期，就去掉最前面一期的数据，新增原来观测期之后的数据，保证跨越期不变，然后逐个求出其算术平均值，并将离预测期最近的一个平均数作为预测值。
移动平均法是在简单平均法的基础上发展起来的预测方法，二者虽然都是以观测期内数据的平均数作为预测值，但二者存在很大的差别，简单平均法将时间序列的总变动混合在一起，只反映了预测目标在观测期内的平均变化水平，而移动平均法在预测时，随着观测期的增加，用于计算预测值平均的期数也增加，但事实上，当新增一个数据时，远离预测期的第一个数据的作用已不大，可以不考虑，但从移动平均所得的数列来看，它修匀了原时间序列，消除了时间序列历史数据随时间变化引起的不规则变动的影响，揭示出预测目标的长期变动趋势规律。因此，移动平均法常用于修匀无明显趋势的时间序列，消除随机波动影响，使时间序列总的趋势显示出来。
移动平均法有一次移动平均法和二次移动平均法，一次移动平均法只计算一次移动平均数，并将离预测期最近的移动平均数作为预测值。一次移动平均又可分为简单移动平均和加权移动平均两种。二次移动平均是在一次移动平均的基础上，再计算一次移动平均数，并在一次移动平均值和二次移动平均值之间建立数学模型，从而确定出预测值。
一般来说，一次移动平均法适用于预测目标的长期趋势基本为平稳状态的情况，如果目标发展趋势存在较大波动，一次移动平均之后时间序列的长期变动趋势还不明显，这时仅以一次移动平均数作为预测值就会产生预测偏差和滞后，为了解决这个问题，就要在一次移动平均数列基础上再作二次移动平均。
下面仅对一次移动平均做简单介绍。
1.简单移动平均法
简单移动平均法是指对一定跨越期的数据，使用简单算术平均法计算平均数，并将其作为下一期预测值。计算公式为
Mt
式中：Mt――第t期到t-n+1期的平均数，也是第t+1期的预测值；
xt，xt-1，xt-2……，xt-n+1――第t期到第t-n+1期的实际观测值；
n――期数。
第t+1期的预测值t+1Mt
“例12-3”某市1999～2008年人均粮食需求量，预测2009年人均粮食需求量。
移动平均值计算表
分别以3年和5年的跨越期计算移动平均数，所得移动平均数。
表中3期移动平均数列中：
第一个移动平均数M3≈209.33
第二个移动平均数M4214.00
……
5期移动平均数列中：
第一个移动平均数M5215.60
第二个移动平均数M6216.80
……
所以，当n3时，2009年预测值为211.33公斤；
当n5时，2009年预测值为209.6公斤。
需要对不同跨越期移动平均得到的预测值进行误差分析，选取误差较小者，一般通过计算标准误差进行分析。标准误差即各预测值与实际值离差平方和的平均数的平方根，计算公式为
σ
式中：xi――第i期的实际值；
i――第i期的预测值；
f――预测值的个数（不包括最后一个预测值）。
“例12-3”中，跨越期n3所得预测值的标准差σ11.40；
跨越期n5所得预测值的标准差σ8.15
跨越期n5时移动平均所得的预测值标准差较小，所以预测值为209.6公斤。
从“例12-3”可以看出，移动平均值的波动幅度比实际观测值小，移动平均数数列的长期趋势比原时间序列明显，所以移动平均法在一定程度上揭示了原时间序列的发展趋势，这种作用取决于平均数跨越期n值的选择，n取较小值，被平均的项数较少，所得的移动平均数个数多，可以更好地观察分析数列的变化趋势，但修匀作用小；n取较大值，情况刚好相反。实际观测值波动较大时，n取值大一些，可以更好地消除随机干扰，实际观测值波动较小时，n取值小些，可以增加灵敏度。所以n值的选择，要根据预测对象的特点和市场变化的具体情况来确定。
2.加权移动平均法
加权移动平均法是对跨越期内不同重要程度的数据乘以不同的权数，将这些乘积之和除以各权数之和，求得加权移动平均数，并以此来预测下一期数据。其计算公式为
Mt
式中：Mt――第t期到t-n+1期的加权平均数，也是第t+1期的预测值；
xt，xt-1，xt-2……，xt-n+1――第t期到第t-n+1期的实际观测值；
w1，w2……，wn――跨越期内各数据对应的权数。
“例12-4”利用“例12-3”中的数据，取跨越期n5，由远及近权数分别为1、2、3、4、5，运用加权移动平均法预测2009年人均粮食需求量。
加权移动平均数计算表
中第三栏加权移动平均数列中：
第一个移动平均数M5
219.20
第二个移动平均数M6
218.00
……
最后一个移动平均数M10
≈209.87
2009年人均粮食需求量的预测值取最后一个加权移动平均数为209.87公斤。
进行时间序列预测时移动平均法比简单平均法所得的预测结果的精度更高。但移动平均法有这样的一些缺点：一是必须储存近n期的数据才可计算一个移动平均预测值；二是预测值实际上只与最近的n期实际值有关，而对t-n期以前的数据完全不予考虑。为了弥补这些不足，就产生了指数平滑法。
（三）指数平滑法
指数平滑法是一种特殊的加权移动平均法，其加权的特点是对离预测期近的历史数据给予较大的权数，对离预测期远的历史数据给予较小的权数，权数由近到远按指数规律递减，所以，这种方法被称为指数平滑法。它的预测效果比移动平均法要好，应用面也广。
指数平滑法按时间序列被平滑的次数，分为一次指数平滑法、二次指数平滑法和高次指数平滑法。一次指数平滑法适用于平稳型时间序列；二次指数平滑法适用于线性趋势型时间序列；高次指数平滑法适用于非线性趋势型时间序列。大部分预测目标的变化过程只要类似于其中一种，都可以用指数平滑法进行预测。但高次指数平滑比较复杂，实际运用比较少，因此本书重点介绍一次指数平滑法和二次指数平滑法。
1.一次指数平滑法
（1）一次指数平滑的预测模型
已知时间序列为x1，x2……，n为时间序列总期数，一次指数平滑的基本公式为
S（1）tαxt+（1-α）S（1）t-1（t1，2，3……，n）
t+1S（1）t
式中：S（1）t――第t期的平滑值，上标（1）表示一次指数平滑；
S（1）t-1――第t-1期的平滑值；
α――平滑系数，取值在0至1之间；
t+1――第t+1期的预测值。
上式表明，在一次指数平滑法中，本期的平滑值等于本期的实际值与上一期平滑值的加权和，最近一期的平滑值即为下一期的预测值。
（2）指数平滑法初始值的确定
运用指数平滑法，需事先估计出初始值。初始值是指最早的一个预测值，即S（1）0，它们不能用公式求得，只能加以估计。一般初始值的估计可以从时间序列的项数来考虑：若时间序列的观察期n大于15，初始值对预测结果的影响很小，可以方便地以第一期观测值作为初始值；若观察期n小于15，初始值对预测结果影响较大，可以取最初几期的观测值的平均数作为初始值，通常取前三个观测值的平均值作为初始值。
（3）平滑系数α的选择
应用指数平滑法进行预测时，平滑系数α的选择是非常重要的，α选择得当与否直接影响到预测的结果。α越大，近期数据的权数越大，说明预测越依赖于近期信息；α越小，远期数据的权数越大，则表示预测更依赖于历史信息。α的大小，也体现了修正幅度的大小，α越大，修正幅度越大，反之，α越小，修正幅度越小。
从理论上讲，α可取0～1之间的任意值，但在具体选择使用时，应遵循以下原则：
①当时间序列呈稳定的水平趋势时，α应取较小值，如0.1～0.3；
②当时间序列波动较大，长期趋势变化的幅度较大时，α应取中间值，如0.3～0.5；
③当时间序列具有明显的上升或下降趋势时，α应取较大值，如0.6～0.8；
在实际运用中，可取若干个α值进行试算比较，选择预测误差最小的α值。
“例12-5”某企业2000年至2008年销售额。试用指数平滑法预测2009年销售额（α分别取0.1、0.6和0.9）。
某企业2000～2008年销售额（单位：万元）
解：（1）确定初始值
因为n9<；15，取时间序列的前三项数据的平均值作为初始值
S（1）0≈4566.67（万元）
（2）选择平滑系数α，计算各年一次指数平滑值
这里分别取α0.1、α0.6和α0.9计算各年一次指数平滑值，可利用Excel进行计算。
①输入原始数据；
②在D3单元格中输入公式：0.1×C3+（1-0.1）×D2；
③向下拖动复制公式，得到平滑系数α0.1的各月平滑值。
同理可得平滑系数α0.6和α0.9的各月平滑值，计算结果。
（3）对不同平滑系数下取得的平滑值进行误差分析，确定α的取值
利用Excel计算各平滑值与实际值的绝对误差，计算结果。
计算各平滑系数下平滑值的平均绝对误差（平均差）：
α0.1的平滑值的平均绝对误差A？D≈714.44
α0.6的平滑值的平均绝对误差A？D≈237.77
α0.9的平滑值的平均绝对误差A？D≈100.96
通过比较，α0.9时的平滑值的平均绝对误差最小，因此选用α0.9为平滑系数。
（4）预测2009年销售额
t+1S（1）tαxt+（1-α）S（1）t-10.9×6000+0.1×5842.57≈5984.26（万元）
2.二次指数平滑法
二次指数平滑是在一次平滑的基础上再进行一次平滑，利用两次平滑值建立线性趋势模型进行预测。
二次指数平滑的计算公式为
S（1）tαxt+（1-α）S（1）t-1
S（2）tαS（1）t+（1-α）S（2）t-1（t1，2，3……，n）
式中：S（1）t――第t期的一次指数平滑值；
S（1）t-1――第t-1期的一次指数平滑值；
S（2）t――第t期的二次指数平滑值；
S（2）t-1――第t-1期的二次指数平滑值。
二次指数平滑法的预测模型为
t+Tat+btT
其中：at2S（1）t-S（2）t
bt（S（1）t-S（2）t）
式中：t+T――第t+T期的预测值；
t――期数；
T――由第t期到预测期的间隔期数；
at，bt――第t期预测模型参数。
“例12-6”利用“例12-5”中的数据，取α0.9，用二次指数平滑法预测2010年该企业的销售额。
解：（1）在一次平滑值基础上，计算二次平滑值和预测模型参数at、bt
利用Excel通过编制公式函数完成各项计算。
①在E3单元格中输入公式：0.9×D3+（1-0.9）×E2；
②向下拖动复制得到α0.9时各年二次指数平滑值；
③在F3单元格输入公式：2×D3-E3；
④向下拖动复制得到各期的at；
⑤在G3单元格输入公式：0.9/（1-0.9）×（D3-E3）；
⑥向下拖动复制得到各期的bt。
（2）建立二次指数平滑预测模型进行预测
t+Tat+btT
2010年是时间序列末期2008年后两年，因此2010年销售额为
9+2a9+b9×25994.49+92.13×26178.75（万元）
三、趋势外推法
趋势外推法又称数学模型法，就是建立一定的数学模型，对时间序列给出恰当的趋势线，即建立预测目标随时间变化的趋势方程，并将时间外推或延伸，用来预测未来可能达到的水平。趋势外推法适用于长期趋势变动预测，按照时间序列呈现的不同趋势形态，分为直线趋势外推法和曲线趋势外推法。
（一）直线趋势外推法
直线趋势外推法就是假定预测目标随时间变化的规律近似为一条直线，通过拟合直线方程描述直线的上升或下降趋势来确定预测值。
如果时间序列的各个数据在一定时期内呈持续上升或下降趋势，且各项变量逐期的增减量大致相等，或从散点图中观察到观测值的时间序列是一条接近直线的发展趋势，可采用直线趋势法进行预测。预测模型为
ta+bt
式中t――预测值；
a、b――方程的参数；
t――时间变量。
直线趋势外推法的关键是为已知的时间序列找到一条最能描述其发展变化趋势的直线，推算出直线的参数a、b。常用的方法是最小二乘法，最小二乘法也称为最小平方法，它的基本思路是：通过对原始数列的数学处理，拟合一条比较理想的趋势直线或曲线，使原数列各实际值与趋势值的离差平方和为最小，即∑（y-）2为最小值。
能够满足∑（y-）2为最小值的直线趋势方程ta+bt，其参数a、b的计算公式为
a
b
式中：y――时间序列的观测值；
t――时间序列各项的时间序号变量；
n――时间序列项数。
时间序号变量t在预测中通常按时间顺序给予编号，经常采用的方法有以下两种：
（1）从1开始以自然数规律编号，即1，2，3……
（2）为了简化计算过程，t也可编为正数、负数号各一半，使∑t0.这种编法又有两种情况：
①当时间序列的项数为奇数时，取中间项的时间序号t0，中间以前为-1，-2，-3……，中间以后为1，2，3……，这样可得到∑t0.
②当时间序列的项数为偶数时，取中间两项时间序号为一对相反数，如可取t-1和t1，则序列的上半部分取-1，-3，-5……，下半部分取1，3，5……，这样就可得到∑t0.
③必须注意保证数列连续两项之间的时间间隔相等。
简化编制时间序号，使∑t0，可使预测模型参数a、b计算公式简化为：
a
b
计算出参数a、b，代入方程式ta+bt即可得到预测直线模型，再将时间t延伸，代入预测模型，就可以推算所需预测的值。
“例12-7”某商场1999年至2007年历年商品销售情况，试用直线趋势外推法预测该商场2008和2009年的商品销售额。
某商场1999年～2007年商品销售情况（单位：万元）
解：利用Excel处理数据。
（1）通过Excel统计图表功能绘制散点图，由可以看出，观测值随时间的变化趋势接近一条直线，因而宜采用直线趋势预测法进行预测。
（2）设预测直线方程为ta+bt
（3）按简便方法编制时间序号，使∑t0，计算t2、ty、∑t2、∑ty、∑y等，计算结果。
（4）将有关数据代入参数求解公式，可得
a≈78909.89
b9590.15
所以预测直线方程为t78909.89+9590.15t
（5）根据该时间序列外推，2008年的t5，2009年的t6，则：
2008年的预测值为578909.89+9590.15×5126860.64（万元）
2009年的预测值为678909.89+9590.15×6136450.79（万元）
（二）曲线趋势外推法
市场中许多经济现象随时间变化的规律并非都是线性的，有时也会呈现出不同形状的曲线变动趋势。此时应用相应的曲线趋势方程进行拟合，用以描述预测目标发展的长期趋势，并根据曲线的特点确定预测值。下面介绍较常用的二次曲线趋势延伸预测法。
如果时间序列各观测值的二级增减量大致相同（即二次差近似相同），或时间序列的数据分布近似于抛物线，则可以配合相应的二次曲线方程
ta+bt+ct2
式中a、b、c三个待定参数同样可以用最小二乘法推导计算，并可依照直线趋势法的简化计算原理，使∑t0，∑t30，可得到模型参数的简化计算公式
a
b
c
根据上述公式计算时，需要有∑y、∑t2、∑t4、∑ty、∑t2y等项的数据，通常列表利用Excel进行计算处理。
“例12-8”某产品投放市场后销售额，试用趋势外推法预测2009年该产品的销售额能达到多少。
解：（1）经计算观测值的二次差大致相等，该经济现象的基本趋势符合抛物线特点。
（2）设预测趋势方程为ta+bt+ct2，用最小平方法推算模型参数，数据计算表。
将有关数据代入方程组a
b
c可得a301.2
b44.0
c3.9
所以预测方程为t301.2+44t+3.9t2
（3）将时间t延伸，2009年的t5，代入预测方程，得2009年该产品的销售额
t301.2+44×5+3.9×52618.7（万元）
三、季节指数法
在市场经济中，一些商品状况由于受到自然气候、生产条件、风俗习惯等因素的影响，在每一年中随着季节的变化呈现出周期性的变动规律，这种变动规律有三个特点：一是季节性变动每年重复出现，二是季节变动按照一定的周期进行，三是每个周期变化强度大体相同。季节指数预测法就是根据预测变量按月或按季编制的时间序列资料，用统计的方法测定出反映季节变动规律的季节指数，并以此为依据进行短期预测的一种预测方法。
利用季节指数法的关键是计算出时间序列的季节指数，要求资料数据以季度或月份来收集，并且至少有三年以上的历史资料。常用的方法有平均数比率法和直线趋势比率平均法。
（一）平均数比率法
平均数比率法是预测季节变动比较简单的方法，适用于时间序处于相对稳定的状态，即预测目标观测数据每年呈现周期性的波动，但波动幅度大体相同，波动曲线相对平稳，不存在明显的上升或下降趋势情况。平均数比率法是通过对若干年的资料数据，求出同季（月）的平均水平与全数列总的季（月）平均水平对比得出季节比率，也称季节指数。下面结合例题说明该法的应用及步骤。
“例12-9”某羽绒服生产厂家统计了2004～2007年各季市场需求量数据，运用季节指数法预测2008年各季的市场需求。
～2007年各季市场需求量（单位：万件）
解：利用Excel进行数据处理。
（1）根据表中数据绘制曲线图：将上表数据按时间先后排成一列，输入Excel电子表格，作出散点图。
从可以观察到，该时间序列具有季节变动的特点，并且周期性波动幅度呈现相对稳定的状态，可以用平均数比率法进行预测。
（2）以下各步计算均可以在Excel表格中进行。
第一步：计算同季平均数Ai，i1，2，3，4分别表示四个季度，即将4年中各年同一季度的需求量进行简单算术平均；
如第一季度平均数A1257.5
第二步：计算观测期全期的季总平均数B，即把4年16个季度的数值计算平均值，用简单算术平均法，结果见F7单元格数据；
第三步：计算季节指数，季节指数即是观测期内各季平均数与总平均数的比率，用百分数表示，计算公式为fi×100%
如第二季度季节指数f2×100%×100%≈48.56%
其他各季的季节指数见第8行。
各季的季节指数，反映了各年同季平均量水平比总平均水平高或低的程度。从数据可以看出，第三、第四季度季节指数大于100%的程度较高，第一、第二季度季节指数小于100%的程度较低，说明第三、第四季度是该商品的需求高峰，即是需求“旺季”，第一、第二季度是该商品的需求“淡季”。
第四步：根据所得的季节指数对下一年各季需求量进行预测，预测模型为
ixi×fi
即：某季预测值预测季的趋势值×季节指数
这里还需确定预测季的趋势值，因为本方法研究的时间序列只包含季节变动，不包含长期趋势，因此预测季的趋势值可取时间序列最末年的季平均值，这里取2007年的季平均数作为2008年各季预测趋势值，见F5单元格。
确定了预测季的趋势值，即可利用预测模型ixi×fi进行预测：
如2008年第三季预测需求量3xi×f3327.5×117.70%≈385.5（万件）
其他各季的预测值见第9行。
（二）直线趋势比率平均法
有些季节性商品的销售，不仅受季节因素的影响，还受长期因素的影响，时间序列既存在明显的季节变动，又有长期变动趋势，表现为观测值波动的幅度随其趋势的变动而加大，趋势曲线一年年上升（或下降），对于这种情况，在预测时采用直线趋势比率平均法。
直线趋势比率平均法的预测模型为
tTtSi
式中：t――预测值；
t――时间序列的时期数；
Tt――直线趋势方程；
Si――i季的平均季节指数。
这一方法的基本思路是先分离出不含季节周期波动的直线趋势Tt，再计算季节指数Si，最后综合两个影响因素进行预测。Tt可利用前面介绍的移动平均法、指数平滑法或直线趋势延伸法求出。
下面结合例题说明此方法的应用。
“例12-10”是某地区消费品零售额的历史统计数据，要求预测2009年各季的消费品零售额。
某地区2005～2008年消费品零售额（单位：万元）
解：根据时间序列数据作曲线图，从中可以观察到预测目标的变化既存在明显的季节变动又包含直线型的长期趋势变动，因此，采用直线趋势比率平均法，先分离出不含季节周期波动的直线趋势，再计算季节指数，最后综合两个影响因素进行预测。
设预测模型为tTtSi
（1）测定直线长期趋势Tt
用直线趋势延伸法，设直线趋势方程为Tta+bt，利用最小二乘法求出参数a67.99，b1.65，代入直线趋势方程Tt67.99+1.65t（计算过程从略）。
利用上述方程，取时间序号取t1，2，3……16，得到2005年至2008年各季度的趋势值Tt。
101.0（2）计算时间数列各期的季节指数Ft
用实际值除以趋势值，得到不包含长期趋势影响的反映季节变动的各个季度的季节指数Ft。
（3）计算平均季节指数Si
将历年相同季度的季节指数加总，然后求平均数，即可得到平均季节指数Si。
平均季节指数和预测期各季预测值计算表
（4）估计2009年各个季度的趋势值
取t17，18，19，20，代入趋势方程Tt67.99+1.65t，即可得到2009年第一至第四季度的趋势值，将中的数值转填到。
（5）利用预测模型tTtSt，计算2009年各个季度的消费零售额
2009年第一季度消费零售额预测值196×1.046≈100.4（万元）
同理可得：
2009年第二季度消费零售额预测值为96.4（万元）
2009年第三季度消费零售额预测值为91.6（万元）
2009年第四季度消费零售额预测值为100.4（万元）
