希尔伯特相信运用公理化方法可使物理学摆脱混乱，但他也承认，光靠数学的力量解决不了物理学问题。这时，希尔伯特求助他的老朋友索末菲给他介绍最新的物理学成就。索末菲是一位优秀的物理学家，在量子理论和原子结构等方面有很深的研究。他不仅耐心地向数学家希尔伯特介绍了物理学家的重大发现，而且专门派他的一名学生，到哥廷根作希尔伯特的助手。希尔伯特虽然理解艰深、晦涩的物理概念显得很迟缓，但是他一经理解发生在物质微观领域中的事物本质，就能够抓住要领。1915年冬季，伟大的物理学家爱因斯坦获得了研究决定引力场与微分形成的系数的相互关系方面的结果，并且先后发表了两篇广义相对论的论文。事实上，希尔伯特则用了完全不同的、更为直接的方法，独立地解决了类似课题，并于同年11月20日向哥廷根科学协会提交了论文，仅比爱因斯坦第一篇论文晚了9天，而早于爱因斯坦第二篇论文6天。
希尔伯特坦诚地承认，广义相对论这一伟大思想，应该归功于爱因斯坦。他认为爱因斯坦关于广义相对论的几何抽象更完善。1915年，希尔伯特推荐爱因斯坦荣获鲍耶奖。
希尔伯特一生追求确立数学的相容性，追求纯粹数学演绎过程的无矛盾性，成为数学发展史上形式主义流派的创始人，有力地推动了数学的发展。特别是他提出的23个希尔伯特问题为20世纪数学研究指明了方向。
希尔伯特去世后，得到了这样的评价：“他像长河上的惟一一座大桥，不论人们来去何方，都要经过它。因为它连接两个数学世纪。”
八、三元渗透原理的发现
赫尔曼·魏尔（Claude Hugo Hermann Weyl，1885～1955），德国数学家，把纯粹数学和理论物理学联系起来，创立了数学新分支，把麦克斯韦的电磁场和引力场表现为时、空的几何性质，重要著作有《黎曼曲面概念》、《空间、时间、物质》、《群论和量子力学》。他1885年11月9日生于德国汉堡附近的一个小镇埃尔姆荷恩。他父亲路德维希是钱庄的经纪人，母亲安娜是家庭妇女。1904年，18岁的魏尔从阿尔托那中学毕业后，进入哥廷根大学学习数学。当时以希尔伯特为代表的哥廷根学派，已经是世界数学的中心，希尔伯特和闵可夫斯基在20世纪最初10年培养起一代新人，也将数学发展推向一个新阶段。魏尔就是以一个乡下孩子的身份在这个幸运的环境中走入数学王国的。
在哥廷根，魏尔像海绵吸水那样从数学大师希尔伯特那里吮吸营养。1907年，他开始写博士论文《奇异积分方程》，这是他第一篇学术著作，标志着他学术生涯的开始。1910年，魏尔取得了哥廷根大学的无薪讲师职位，留在希尔伯特身边从事研究工作。
1911年～1912年，魏尔在哥廷根大学开设黎曼的函数论，讲课和进一步研究促使魏尔1913年出版了《黎曼曲面概念》一书。这部经典著作直接奠定了一般拓扑学的基础，使拓扑学成为当代数学的天皇。
1913年秋，魏尔与海拉结婚，从此，海拉一生分享着魏尔对于科学、哲学、艺术和文学的欣赏趣味，成了魏尔离不开的精神伴侣，她为魏尔安排了一个舒适美满的家庭。他们后来在普林斯顿的住所成为数学家、著名作家、哲学家经常聚会的高级文化中心，欧洲式的文化沙龙。婚后，魏尔应邀去瑞士苏黎世大学任教。在湖光山色、风景宜人的苏黎世，魏尔结识了爱因斯坦，与爱因斯坦的谈话使魏尔开始注意物理学革命的新领域。还没等魏尔投入研究，第一次世界大战爆发了，远在瑞士的魏尔不得不在1915年应征入伍服了一年兵役。
1913年～1915年，爱因斯坦发表广义相对论；1919年5月英国天文学家观测日食，证实了光在引力场中的偏转，从而引起轰动。接着量子论也蓬勃发展。1925年～1926年，量子力学建立起来，人们开始深入研究分子、原子、原子核及基本粒子。物理学革命带来了物理学发展的空前繁荣。
面对20世纪20年代物理学的繁荣及发展，大数学家都作出了自己的反应。哥廷根大学的希尔伯特和闵可夫斯基在对狭义相对论作出自己的贡献之后，不久就去世了。希尔伯特把自己的注意力从数学分析转向物理学，并独立地提出广义相对论引力方程的完整形式。量子力学产生之后，希尔伯特又与他的学生一起研究这门新学科。
在时局动荡的岁月中，魏尔也完成了他最重要的研究，实现了从经典数学到现代数学的历史转变。首先，在爱因斯坦的影响下，他运用数学工具闯入了统一场理论，试图把引力场和电磁场统一起来。爱因斯坦广义相对论的数学基础，是黎曼几何和张量演算，魏尔对黎曼数学堪称行家里手。他对广义相对论的统一场论问题跃跃欲试，试图大展才略。尽管直到今天为止统一场论最后仍然没有解决，但魏尔的刻苦努力产生的副产品，却得到了空前的发展，这就是数学纤维丛理论。
魏尔从1915年起，对利用数学方法表达爱因斯坦理论的工作一直不遗余力。1916年～1917年，他在苏黎世高等工业学院开课，讲授相对论，同时自己进行几何学及相对论的研究，其结果产生出《空间、时间、物质》这本著作。
这是20世纪把数学、物理学、哲学进行三结合的重要经典，也是给物理学家系统阐述数学知识同时使数学家了解物理学的第一部著作，又是第一部系统介绍广义相对论的著作。由于清晰而严谨的叙述，出版后立即受到学术界的普遍欢迎。
从1918年初～1923年5年之内，这本书再版了5次，成为年轻学者的入门书。量子力学的矩阵理论的创始人海森堡，在大学时代就是这本书的热心读者。数学家受到这本书的鼓舞，在短暂的时间内，便掀起了微积分几何竞相发展的高潮。
爱因斯坦与魏尔是一对相互敬重的好朋友，爱因斯坦对同行们说：“我相信，魏尔不仅是一位出类拔萃的人物，而且在为人方面也是讨人喜欢的。只要有机会与他见面，我是不会错过的。”
魏尔在数学方面多次协助爱因斯坦，爱因斯坦也试图从物理学方面启发魏尔。
1923年，魏尔开始研究连续群的性质，先后发表三篇对数学发展颇有影响的论文。这时量子力学刚刚诞生，群，开始被引进物理学。当时，对于多数物理学家来说，对群的概念普遍感到陌生，甚至有些厌恶。他们觉得这只不过是数学家故弄玄虚。物理学家只是在结晶学中碰到过群。维格纳、冯·诺依曼及魏尔是最早把群用到量子力学上的人。
1928年，魏尔写的《群论与量子力学》一书问世了。在大多数物理学家还不懂线性代数的时候，群论实在太神秘了。这本书是为物理学家学习线性代数和群论，同时也为数学家学习量子力学而撰写的。它不仅成了这一领域的经典著作，而且再一次促进了从19世纪中叶以后日益疏远的数学及物理学之间的紧密结合。
这一次，魏尔不再满足于给数学家和物理学家当“媒人”，他干脆自己干了起来。他要像物理学家那样干点有物理意义的工作，以便真刀实枪地在物理研究中发展数学。他在电子自旋、中微子二分量理论以及价键理论中作出了重要贡献。
1930年，希尔伯特退休，他希望魏尔继承自己的职位。这时哥廷根大学已经走下坡路了，魏尔希望恢复哥廷根大学昔日的荣光，毅然接受了哥廷根大学的教授职务。希特勒上台后，大搞反犹太活动，魏尔的妻子海拉属于半个犹太人，他受到株连。这时，在美国的朋友不断催他赶紧离开德国，否则就太晚了。书生气十足的魏尔一再犹豫不决，最后，爱因斯坦的信终于打动了他，由此魏尔踏上美国国土，在大洋彼岸度过了他的后半生。
到美国后，魏尔在培养数学人才方面，做出了巨大的贡献。他从各国吸收优秀人才，曾邀请陈省身、小平邦彦等人到普林斯顿，他们后来都成为当代杰出的数学家。魏尔对美国数学发展也有所贡献，他写的《代数数论》等著作，使从高斯到希尔伯特的欧洲数论在美洲得到普及，引发了战后美国在这方面的卓越贡献。
第二次世界大战期间，这位年近花甲的老人仍然孜孜不倦地继续他的数学研究工作。除了他过去的老题目之外，他热心地注意新近的数学发展，紧紧跟随年轻人的步伐。魏尔直到70岁还能够把当时新出现的代数拓扑学的复杂计算讲得头头是道，引起许多人的震惊。
惨绝人寰的第二次世界大战终于结束了。魏尔却又面临着个人的不幸，战后不久，与他恩爱一生的妻子海拉去世了，这使魏尔更加憔悴、忧伤。1955年12月9日，魏尔的心脏病突然发作，不幸与世长辞了。
九、科学通才创建控制论
控制系统是什么？其实并不神秘。人体就是一个灵敏的控制系统。人手不经心碰到热水，会下意识地缩回来。这是来自手的刺激传递给大脑，大脑向肌肉发出“收缩”的指令。如遥控器、自动开关、空调器、电冰箱等都有繁简不同的控制系统。电脑现已普及了，也是很典型的控制系统。
首创控制论的人名叫维纳（Norbert Wiener，1894～1964，美国数学家，建立了控制论科学。他对数学预测理论和量子理论等领域都提出了新的概念，被称为“控制论之父”）。
维纳1894年生于美国密苏里州哥伦比亚。维纳的父亲是俄籍犹太人，也是著名的哈佛大学语言学教授，年轻时曾当过小贩、清洁工，好学而富有进取心，靠自学取得教授的职位。他对儿子管教严格，希望他早日成才。
由于家中藏书甚多，这为维纳创造了良好的读书条件，他自幼养成广读书刊的习惯，4岁开始阅读书籍，7岁就能看但丁和达尔文的著作，并能流畅地阅读历史、语言、数学书刊。8岁时开始学解析几何学……维纳儿童时代就被人们看成“神童”。
维纳9岁进入中学，11岁便写出第一篇哲学论文《关于无知的理论》。12岁上大学，在大学里维纳的兴趣也不时地转换，先攻数学，后来又转到哲学、语言学，很快便达到通晓十国语言的水平，对汉语也颇有研究。18岁时，取得哈佛大学数理逻辑学博士学位。
维纳取得博士学位之后，先后到英国、德国和法国留学。在英国剑桥大学，维纳在著名数学家、哲学家、逻辑学家罗素等人的指导下，学习数学基础、数学逻辑以及爱因斯坦的相对论等科学新成果。他接触和熟悉了世界科学技术前沿的重大问题。这对他日后创立控制论起到了潜移默化的作用。
26岁的维纳受聘到麻省理工学院任教，维纳在数学方面的研究日益深入，获得了重大成就。他对数学的主要贡献是：提出无限维空间的一种测度，后人将其命名为“维纳测度”；制定复平面上的傅里叶变换理论；发展了外推理论和平稳随机过程的滤波理论。1933年，维纳在数学方面的研究成果已享有相当高的声誉，37岁时他当选为美国数学会会长。
维纳十分熟悉中国，他下功夫掌握了汉语，对中国人民有深厚的感情。1935～1936年间，维纳应邀来中国讲学，在清华大学讲授数理方面的课程。此时，维纳与他的学生、清华大学教授李郁荣合作，发明了新式继电器，在机电一体化方面获得了较大飞跃。这些成果为维纳后来完成控制论的创立，打下了基础。
从某种意义上说，维纳就是在中国这块地大物博的文明古国里，创立和奠基了控制论。自30年代末起，维纳参加哈佛医学院罗森勃吕特博士主持的科学方法讨论会，从而使他的控制论思想得以脱颖而出。会上思想非常活跃，不同专业的专家汇集在一起，以沙龙、咖啡饮茶会等轻松自在的形式，进行科学交流。人们从不同层面发表各种各样的见解，促进了各领域科学家间的相互了解和交流。
控制论的提出，首先是由于战争的需要。1940年，正是第二次世界大战中法西斯希特勒最猖獗的时候，法西斯德国出现了超音速飞机，高炮要瞄准目标很困难，肉眼观察，误差太大，急需安装自动控制系统，准确地预测飞行目标，增加高炮命中率。维纳和美国等反法西斯国家的科学家都加入防空自动控制的研制工作。
有一天维纳在郊外散步，遇到一位打鸟的猎人。猎枪随着飞鸟不断移动位置。他由此得到启发：高炮打飞机和人打鸟的道理是一样的，目标偏左时，就向左作一个校正，向右也同样。人的神经系统和机器的自动控制极为相似，都是通过从外界获取目标差距的信息，传达给中枢，发出指令，控制的过程实际就是不断传递信息的过程，这需要反馈信息来作调节。
控制论是把自动调节、通信工程、计算机和计算技术，以及神经生理学和病理学等以数学为纽带联结在一起，在这些学科相互作用的基础上形成的新学科。它主要为自动控制、人工智能、系统控制等提供理论依据。
控制论的初步研究成果为反法西斯战争作出了贡献。第二次世界大战中，当纳粹德国密如蜂群的轰炸机去轰炸英伦三岛时，只见少量的盟国飞机和密集的高射炮火巧妙配合，把入侵的德国飞机打得浓烟滚滚、纷纷坠毁。这就是盟国初步运用控制论思想，将防空飞机、高射炮火和刚刚发明的雷达结合成一个综合人机控制系统。
1948年，维纳的著作《控制论》一书出版，把“控制论”定义为“关于机器和生物的通讯和控制的科学”，宣告了这门学科的诞生。
控制论诞生不久，就与电子计算机相互结合，从而得到迅速发展，相继出现了工程控制论、生物控制论等新兴学科。1964年，经数学学会提名，这位曾被看成是“不安分大学生”的维纳获得了美国总统颁发的国家科学奖章，以表彰他致力于创造性科学的事业，对人类文明和进步做出的卓越贡献。可惜，几个星期之后，维纳心脏病发作，不幸于1964年3月18日病逝，享年70岁。
