神奇的幻方
相传在大禹治水的年代里，陕西的洛水常常大肆泛滥。洪水冲毁房舍，吞没田园，给两岸人民带来巨大的灾难。于是，每当洪水泛滥的季节来临之前，人们都抬着猪羊去河边祭河神。每一次，等人们摆好祭品，河中就会爬出一只大乌龟来，慢吞吞地绕着祭品转一圈。大乌龟走后，河水又照样泛滥起来。
后来，人们开始留心观察这只大乌龟。发现乌龟壳有9大块，横着数是3行，竖着数是3列，每一块乌龟壳上都有几个小点点，正好凑成从1到9的数字。可是，谁也弄不懂这些小点点究竟是什么意思。
有一年，这只大乌龟又爬上岸来，忽然，一个看热闹的小孩惊奇地叫了起来：“多有趣啊，这些小点点不论是横着加，竖着加，还是斜着加，算出的结果都是15！”人们想，河神大概是每样祭品都要15份吧，赶紧抬来15头猪和15头牛献给河神……果然，河水从此再也不泛滥了。
这个神奇的故事在我国流传极广，甚至写进许多古代数学家的著作里。乌龟壳上的这些点点，后来被称作是“洛书”。一些人把它吹得神乎其神，说它揭示了数学的奥秘，甚至胡说因为有了“洛书”，才开始出现了数学。
撇开这些迷信色彩不谈，“洛书”确实有它迷人的地方。普普通通的9个自然数，经过一番巧妙的排列，就把它们每3个数相加和是15的8个算式，全都包含在一个图案之中，真是令人不可思议。
在数学上，像这样一些具有奇妙性质的图案叫做“幻方”。“洛书”有3行3列，所以叫3阶幻方。它也是世界上最古老的一个幻方。
构造3阶幻方有一个很简单的方法。首先，把前9个自然数按规定的样子摆好。接下来，只要把方框外边的4个数分别写进它对面的空格里就行了。根据同样的方法，还可以造出一个5阶幻方来，但却造不出一个4阶幻方。实际上，构造幻方并没有一个统一的方法，主要依靠人的灵巧智慧，正因为此，幻方赢得了无数人的喜爱。
历史上，最先把幻方当作数学问题来研究的人，是我国宋朝的著名数学家杨辉。他深入探索各类幻方的奥秘，总结出一些构造幻方的简单法则，还动手构造了许多极为有趣的幻方。被杨辉称为“攒九图”的幻方，就是他用前33个自然数构造而成的。
攒九图有哪些奇妙的性质呢？请动手算算：每个圆圈上的数加起来都等于多少？而每条直径上数加起来，又都等于多少？
幻方不仅吸引了许多数学家，也吸引了许许多多的数学爱好者。我国清朝有位叫张潮的学者，本来不是搞数学的，却被幻方弄得“神魂颠倒”。后来，他构造出了一批非常别致的幻方。“龟文聚六图”，就是张潮的杰作之一。图中的24个数起到了40个数的作用，使各个6边形中诸数之和都等于75。
大约在15世纪初，幻方辗转流传到了欧洲各国，它的变幻莫测，它的高深奇妙，很快就使成千上万的欧洲人如痴如狂。包括欧拉在内的许多著名数学家，也对幻方产生了浓郁的兴趣。
欧拉曾想出一个奇妙的幻方。它由前64个自然数组成，每列或每行的和都是260，而半列或半行的和又都等于130。最有趣的是，这个幻方的行列数正好与国际象棋棋盘相同，按照马走“日”字的规定，根据这个幻方里数的排列顺序，马就可以不重复地跳遍整个棋盘！所以，这个幻方又叫“马步幻方”。
近百年来，幻方的形式越来越稀奇古怪，性质也越来越光怪陆离。现在，许多人都认为，最有趣的幻方属于“双料幻方”。它的奥秘和规律，数学家至今尚未完全弄清楚呢。
8阶幻方就是一个双料幻方。
为什么叫做双料幻方？因为，它的每一行、每一列以及每条对角线上8个数的和，都等于同一个常数840；而这样8个数的积呢，又都等于另一个常数2058068231856000。
有个叫阿当斯的英国人，为了找到一种稀奇古怪的幻方，竟毫不吝啬地献出了毕生的精力。
1910年，当阿当斯还是一个小伙子时，就开始整天摆弄前19个自然数，试图把它们摆成一个六角幻方。在以后的47年里，阿当斯食不香，寝不安，一有空就把这19个数摆来摆去，然而，经历了成千上万次的失败，始终也没有找出一种合适的摆法。1957年的一天，正在病中的阿当斯闲得无聊，在一张小纸条上写写画画，没想到竟画出一个六角幻方。不料乐极生悲，阿当斯不久就把这个小纸条搞丢了。后来，他又经过5年的艰苦探索，才重新找到那个丢失了的六角幻方。
六角幻方得到了幻方专家的高度赞赏，被誉为数学宝库中的“稀世珍宝”。马丁博士是一位大名鼎鼎的美国幻方专家，毕生从事幻方研究，光4阶幻方他就熟悉880种不同的排法，可他见到六角幻方后，也感到是大开眼界。
测太阳高度
古人很早就知道，用小小直角尺（矩）可以量出相当高的高度。他们把角尺直立在水平位置上，对准要测量的物体，使物体的最高点与角尺两边上的两点成一直线，利用相似直角三角形对应边成比例的性质，就可以把物体的高度算出来了。这里的条件是：直尺的直角点到物体垂直于水平面的线的距离是能够用尺直接测量出来。
两千多年以前，汉代的天文学家又招这种方法推广到计算太阳的高度，这是古代一个十分有趣的天文问题，也是一个很有意义的数学问题。我们现在知道，太阳与地球是宇宙中两个椭圆形的天体，它们之间的平均距离有14960万公里。可是古代的人想知道太阳的高度有多少，他们又是怎样去测量的呢？
原来，那时有的天文学家，认为天是圆的（指球形），地是方的。地球是一望无际的平地，挂在天空中的太阳，尽管一年四季千变万化，但在特定的时间和地点，它的高度是可以测量计算的。于是，这些天文学家用一根八尺长的标竿（p），选定夏至这一天，在南北相隔一千里的两个地方，（A，B），分别测出太阳的影子长度（m，n）。设太阳离地面的高度为h＋p，A点到太阳在地面的垂足的距离为d，根据相似直角形对应边成正比例的性质，得hp＝dm（1）hp＝d＋ABn（2）解方程组得h＝p×ABn－m（3）汉代的天文学家认为，北面B点的影子n与南面A点的影长m恰恰相差1寸。因此，n－m＝1寸，p＝8尺，AB＝1000里，代入（3）式得h＝8尺×1000公里0.1尺＝80000里将80000里再加上标竿的长度8尺，便是太阳离地面的高度（当然，这个结论是不符合实际的）。从（3）式中我们知道，h的高度等于北面影子与杆竿长之比减去南面影子与标竿长之比去除南北两点间的距离。同样，用这两个比值的差除以南面影长，便得到A点到太阳在地面的垂足的距离。因此，南北两点的距离确定以后，太阳离地面的高度主要决定于标竿影长与标竿长的两个比值之差。但是，因为他们假设地面是平的，不符合实际情况，因而得出错误的结果。然而，我国古代这种数学方法是正确的，汉代天文学家把这种计算方法称为“重差术”。公元第三世纪大数学家刘徽，系统地总结了这种办法，写成专门的一章，也是叫作“重差”，附在古代数学名著《九章算术》之后。唐代初年，国子监整理出版古代数学著作时，把这一章作为《算经十书》之一，单独发行。因为它第一个问题是测出一个海岛的高度和距离，所以又把它称为《海岛算经》，这本书一直流传到现在。
数学与《红楼梦》
《红楼梦》是我国的四大古典文学名著之一，在国外也很出名。按照红学家们的说法，这部巨著的前80回的作者是曹雪芹，后40回的作者则是高鄂。这种意见对不对？数学家们用自己的方法对此作出了判断。
用数学方法判断一部文学作品的作者，国外早有先例，如《静静的顿河》一书是不是前苏联作家肖洛霍夫所写，这个问题曾经引起了很大的争论，最后还是数理语言学中的统计方法帮上了忙，确立了肖洛霍夫的作者地位。
我们知道，每个人写作的风格都有所不同，古人也不例外。有的也许喜欢用“之”“乎”，有的或许更喜欢用“者”“也”。根据常用字在文中出现的次数多少（称为频率），就可以看出风格上的差别，这样一来，谁是作者便不言自明了。
根据这样的道理，我国学者李贤平运用47个虚字在《红楼梦》的每一回中出现的频率，通过计算距离等各种统计方法，探索了这部书各回写作风格的接近程度，结果发现，红学家们的说法是正确的。红学家们的说法第一次用数学方法得到了证明和补充。
这一成果以“红楼梦成书新说”为题刊载于1987年《复旦学报》社科版第3期上，是中国文学史上用数学方法研究文学最成功且最轰动的一次。
国王赏不起的米
古印度有个国王，非常爱玩，有一次下令在全国张贴招贤榜：如果谁能替国王找到奇妙的游戏，将给予重赏。
一个术士揭了招贤榜。他发明了一种棋，使国王玩得舍不得放手。国王高兴地问术士道：“你对本王的赏赐要求些什么？”术士赶忙拜倒：“大王陛下在上，小小术士没有特殊的要求，只请大王在那棋盘的第一个格子里放下一粒米，在第二个格子里放下两粒米，在第三个格子里放下4粒米，然后在以后的每一个格子里都放进比前一个格子多一倍的米，64个格子放满了，也就是我要求的奖赏了。”国王一听，这点米算什么，就一口答应了。可是，当找来算师一五一十地算了以后，使国王大吃一惊，原来这些米可以覆盖全地球，全世界要几百年才能生产出来，根本无法赏给这位术士。
为什么这个棋盘里的米会有这么多呢？
让我们算一算看：
第一个格子里是1粒，第二个格子里是2粒，一共有3粒，或者，等于：
2×2－1＝3。
加上第三个格子的4粒，一共是7粒，即2×2×2－1＝7再加上第四个格子的8粒，共有15粒，即2×2×2×2－1＝15。
也等于：
24－1＝15所以，从第一格到第四格的米粒数就等于2的4次乘方减去1。那么，从第1格到第64格的米粒数，将等于2的64次乘方减去1，即：
2×2×2……×2－1＝264－164次＝18446744073709551615。
为什么这个数字会这么惊人呢？原来这个术士聪明地运用了数学上的几何级数，那是把2作为基本倍数，棋盘上的格数作为这个基本倍数的乘方，即2的n次方。棋盘上一共有64格，n就等于64，但是要减去第一格上那一粒米的数值，即264－1；然后再除以基本倍数减去第一格上数值的差，即2－1。这样，2n－12－1＝264－11＝264－1。
看来，一粒米、两粒米这个数目很小，算不得什么，可是，用几何级数一算，却成为一个不可想象的巨大数字。愚蠢的国王怎能领会几何级数的奥妙呢。
墓碑上的数学
丢番都是古代希腊著名的数学家，关于他的年龄在任何书上都没有明确的记载，可是，在他的墓碑上却刻下了关于他的生平资料。如果依据墓碑上提供的生平资料，用数学方法去解答，就能算出数学家丢番都的年龄，这就是人们所说的“墓碑上的数学”。
丢番都的幕碑上到底刻了些什么呢？
“过路人，丢番都长眠在此。倘若你懂得碑文的奥秘，它就会告诉你丢番都一生寿命究竟有多长。
“他的生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，他度过了愉快的青年时代；后来丢番都结了婚，这样又度过了一生的七分之一；再过五年，他得了第一个儿子，感到很幸福，可是命运给这个孩子在世界上的光辉灿烂的生命只有他父亲寿命的一半；自从儿子死了以后，他努力在数学研究中寻求慰藉，又过了四年，终于结束了尘世的生涯。”
现在让我们从碑文中去寻求解答问题的各种数量关系。
先用方程解。我们假设丢番都的年龄是x岁；他的生命的六分之一是童年，童年便是x6；再活了他生命的十二分之一，就是再活了x12；他结婚又度过了一生的七分之一，便是x7；再过五年生了儿子，儿子的生命是父亲寿命的一半，那就是x2；儿子死后的四年，他结束了一生。
根据以上分析可以列出方程：
x=x6+x12+x7+5+x2+4解：
84x=14x+7x+12x+42x+7569x=756x=84这就是说，丢番都活了84岁。
也可用算术方法解。我们把丢番都的年龄看作整体“1”，童年是16，青年是112，结婚后度过了一生的17，又过了5年生儿子，儿子年龄是他父亲生命的12，又过4年，结束了一生。
由此说明（4+5）年恰好是他一生的（1-16-112-17-12）。列式为：
（4+5）÷（1-16-112-17-12）=9÷84-14-7-12-4284=9÷984=84（岁）由此可以得知，丢番都21岁结婚，38岁做了爸爸，儿子只活了42岁，儿子死的时候，丢番都是80岁，儿子死后4年，这位84岁的老人给自己的一生画了一个句号。
丢番都的主要著作有《算术》一书。在书中，除了记述代数原理外，还记述了不定方程及其解法。丢番都研究的不定方程问题，对后来的数学研究影响很大，后人也把不定方程称为“丢番都方程”。
朋友与“亲和数”
传说在公元前500多年，古希腊的克罗托那城中，毕达哥拉斯学派正在讨论“数对于万物的作用”，一位学者问“在我们交朋友时，存在数的作用吗？”伟大的数学家毕达哥拉斯答到：“朋友是你灵魂的倩影，要像220与284一样亲密。”他的话使人感到蹊跷，接着他宣布：
神默示我们，220的全部真因子之和1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110恰好等于284，而284的全部真因子之和1+2+4+71+142又恰好等于220，它们是一对奇妙的“亲和数”。毕达哥拉斯的妙喻，简直使学者们惊呆了，不过在此后的一段漫长的时间里，人们知道的亲和数就只有这一对。
直到公元七世纪，在古老的巴格达城中，出现了一位伟大的博学者泰比特·伊本柯拉。他是医生、哲学家和天文学家，并且酷爱数学，他对亲和数的特性潜心思索，竟惊人地发现了一个求亲和数的公式。即a＝3·2x1，b＝3·2x11，c＝9·22x11，这里x是大于1的正整数，则当a、b和c为素数时，2xab和2xc是一对亲和数，同时给出了公式的证明，并验证当X＝2时，求得的亲和数就是220和284。
然而令人惋惜的是泰比特·伊本柯拉并没有给出新的亲和数。
又过了700多年，法国数学家费尔马在1636年再度独立地证明了泰比特·伊本柯拉公式并且给出了第二对亲和数17296和18416。继而另一位数学大师笛卡尔在给一位朋友的信中又确切地给出了第三对亲和数9363584和9437056。这新的发现震动了数学界，吸引了许多数学家像寻宝一样投身于这场“寻数”的竞争。
