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第2章 数学课学法指要(2)

写在后面括号内的“条件”是很重要的,离开了各自的条件,就不能保持原有的结果。

(三)掌握公式与法则的应用

掌握公式的应用是学习公式的关键环节。不仅会“正向”应用,还要会“逆向”应用,更重要的是灵活应用,变式应用。

例如:对数换底公式: logbN=logaN/logab(a>;0,a≠1,b>;0,b≠1,N>;0)

首先要学会“正向”应用公式。如化简:(log23·log94)x—log21gx;还要学会“逆向”应用公式,如证明logamlogan=logbmlogbn;更要灵活运用公式;如计算(log23+log49+log827+……+log2n3n)·log9n32。

对于一个公式,不仅要熟悉公式的基本形式,还要掌握它的各种变形。在解题时要根据已知条件,灵活选择变形公式,这样应用效率就高,运算就会变得合理简捷。

例如倍角的余弦公式cos2x=2cos2x-1=cos2x-sin2x=1-2sin2x,也可变形为sin2x=1-cos2x2,cos2x=cos2x-12在某些算题中用起来就简捷多了。

三、数学定理的学习

(一)学会分清定理(或命题)的条件和结论。特别是对于比较复杂的定理很难一下子分清条件和结论,这时,要字字斟酌,整体分析。并将定理的条件和结论分别用数学符号或数学式子表示出来,写成“已知”、“求证”。对于几何定理,还要先根据题意画出图形。

(二)掌握推理的方法

定理的证明是通过推理来进行的。因此学习数学定理必须学会推理的方法。

推理的方法常用的有演绎推理和归纳推理、类比推理。

1演绎推理

演绎推理又叫演绎法,它是由一般命题到特殊命题的推理方法。在数学证明中应用比较广泛的是三段论法,即由大前提、小前提,推出第三个判断(称推理的结论)。定理的证明常常是由一连串的三段论法所组成的。

2归纳推理

归纳推理又叫归纳法,它是由特殊命题推得一般命题的推理。归纳推理常见的形式有完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法是把适合命题条件的一切可能情形全部考察到,从而确定命题真实性的一种推理方法。这种方法可以作为证明方法。不完全归纳法是通过对某类事物中的部分对象的研究,概括出该类事物的一般性的结论。它所得到的结论,只能作为一种猜想,其真实性必须经过严格的逻辑证明。不完全归纳法是为探索规律、导致发现的一种重要方法。

3类比推理

类比推理是由特殊命题到特殊命题的推理。例如,从平面几何的定理,通过类比,获得立体几何中的定理;从二阶行列式的性质,通过类比,获得三阶段行列式的性质等。

(三)学会常用的证明方法

数学定理是对数学对象重要关系的规律性反映。我们学习定理,不仅要熟悉它所反映的事物的属性,更要注意学习证明定理的方法和技巧。常用证明方法有直接证法和间接证法,间接证法又分为反证法和同一法;按推理的顺序又有综合法和分析法。

(四)建立定理系统,形成知识结构

学完一个单元或一本书之后,要从纵的方面分析定理与定理、概念与定理的逻辑联系,把定理系统化,这样既便于记忆,又便于应用。同时,要以数学方法为主线,把定理归类,以揭示定理间的横向联系,有利于灵活掌握定理。

(第四节 )重视学思想方法和语言的学习

一、数学思想和方法的学习

数学思想是数学知识的结晶,是高度概括的数学理论。数学方法是数学思想在数学活动中的反映和体现,它贯穿于知识的汲取、储存、加工、运用的全过程。它可以使“死”知识复活,相对增加知识的智力价值。在数学学习活动中,认识问题和解决问题,都是知识和方法相互作用的结果。例如,解析几何中把几何问题化为代数问题来研究,就是应用形数对应的思想和化归思想,将曲线上的点的特征性质用与之等价的代数条件表示出来。由此可见,数学思想与数学方法的学习在数学中占有重要的地位,必须把它们学好。

在高中数学中经常接触到的重要数学思想有;字母代数的思想、变换与化归的思想,对应与函数的思想、分类的思想、分解与组合的思想、集合与映射的思想、公理化的思想等。数学方法有:分解法、扩充法、类比、命题转换法、特殊化法、联想法等思考方法;归纳法、演绎法、分析法、综合法、反证法、同一法等证题通法;配方法、换元法、待定系数法、代入法、消元法、比较系数法、判别式法、解析法、参数法、复数法、形数结合法等解题方法,这些思想方法相互联系、相互沟通、相互渗透、相互补充、将整个数学知识构成一个有机的、和谐的统一整体。

如何学习数学的思想和方法呢?

(一)注意从数学基础知识和数学思想方法两个方面来分析、研究教材

在学习教材的每一章节乃至做每一道习题时,都要用两条红线加以分析。一条红线是分析数学基础知识,另一条红线是分析教材内容中贯穿的数学思想和方法,弄清哪些章节贯穿着哪些数学思想和数学方法。例如用函数思想可以把多项式、方程、函数、数列、不等式等内容统一起来;判别式法散见于二次方程、一元二次不等式、求直线与二次曲线的交点及相切等内容之中;待定系数法重点用于解析几何中,同时还散见于因式分解、式的恒等变形等内容。

(二)重视过程的学习

数学思想和方法常常体现在概念的形成过程、结论的推导过程、规律的揭示过程、问题的探索和解决过程之中。例如,立体几何的学习过程中,体现着公理化思想和方法。在学习过程中,要逐步领悟,否则,只能是只见树木不见森林,难以把握数学知识的精神实质。

(三)注意数学思想方法的挖掘和提炼

数学思想和方法蕴含于基础知识之中,需要我们在学习中亲身体验和认真思考才能获得。例如在我们学习和推导角的、差、倍、分三角函数公式时,体验到这诸多公式中,有一个最基本的sin(α+β),其他有关公式直接地或间接地由公式sin(α+β)推导而得。

二、数学语言的学习

高中数学语言的特点是符号化语言增加了。

用特定的数学符号表示数及其关系,表示空间概念和性质,并把具有确定意义的数学符号作为“形式”对象进行运算和论证。这是数学的主要特征之一——形式化。在学习数学中,如果不能掌握数学语言,数学学习将无法进行。那么,怎样学习数学语言呢?

(一)学会文字语言、符号语言、图形语言的“互译”

在数学学习中,我们经常接触到的数学语言基本上分为三类:文字语言、符号语言、图形语言。文字语言具有通俗性,图形语言具有直观形象性,符号语言具有精确性、简约性和运算性。数学表达和运算主要运用符号语言。在学习时,我们一定要学会将这三种数学语言进行“互译”。高中数学中许多定义、定理、公式、法则、我们不但要会用文字语言叙述,更要习惯于用符号语言、图形语言来表达。

例如定理:垂直于同一条直线的两个平面平行。(文字语言)。用符号语言表达:α⊥AA′

β⊥AA′αβ用图形语言表达为(如图2)

再如,椭圆的定义——用文字语言叙述为:平面内与两个定点的距离之和等于正常数的点的轨迹叫椭圆。

用符号语言叙述为:椭圆就是集合:M={P:|PF1|+|PF2|=2α,|F1F2|=2c,α>;0,c>;0}

图形语言:如图3

(二)注意符号语言的形式与内容的统一

当我们应用概念、公式、法则进行运算和论证时,仅对符号表达式进行形式的推导,思维过程出现简缩、跳跃、越层现象,这是必要的。但是,值得注意的是,有些同学在用符号表达式进行形式推导时,只是机械地进行,不能对结果的符号表达式进行解释,重新赋予意义。主要原因是这些同学对符号所表达的内容了解不清,出现脱节现象。因此,在数学学习中,必须使符号语言形式与所表示的实际内容达到统一。

(三)注意符号语言的一般与个别的统一

例如,我们学习组合公式C′mn=n!m!(n-m),这里的m,n在非负整数内是任意的但m≤n(注意C00=1)。在具体应用时,m、n可代表某一确定的数,还可代表某一表示非负整数的代数式。灵活运用公式,就在于这一般到个别的转化之中。另外,将零碎的、局部的知识上升到整体的、规律性的知识,又依赖于从个别到一般的转化。例如,我们通过个别对数函数y=log2x,y=log12x,y=log10x的学习,再把对数的底用字母表示就上升到一般对数函数y=logax(a>;0,a≠1)。我们只有从这两者的结合上才能深入理解数学语言的奥妙!

(四)注意符号语言与图形语言的结合

在数学学习中,利用图形语言的直观性可以更好地理解符号语言所表达的内容。在高中数学中,借助函数图像理解函数的性质,就是这两种语言结合的典型例子。

(第五节 )学会解答与探索数学题

在学习数学基础知识、数学语言以及数学思想与方法的过程中,必须伴随着解答一定数量的数学习题,否则数学是学不好的。解题既要注意数量,又要讲究质量;既要学会探索解题的门径,又要注意解题的格式;既要发挥数学概念和规律在解题中的指导作用,又要提炼解题的一般方法和技能技巧。

一、注意发掘题目的隐含条件

高中数学题的结构一般比较复杂,具有综合性。在审题时,除了明确题中所涉及的概念和关系这些明显条件外,更要注重发掘题目中的隐含条件。发掘隐含条件的方法很多,要具体问题具体分析,有些从概念特征出发,有些从图形特征出发,有些从结构特征出发,有些从相关知识出发,有些从结论中发掘。

例设f(x)是实函数,且 f(x)-2f(1x)=x

求证:|f(x)|≥232

分析:观察式①的结构,发现式①中含有两个未知函数f(x)和f(1x),x和1x互为倒数,把x换以1x,就可得到隐含于式①中的另一个条件: f(1x)-2f(x)=1x

从这两个条件中,容易解出f(x)。

二、注意综合沟通、相互转化

高中数学的各分支——代数、三角、立体几何、解析几何等知识和方法是相互联系,相互沟通,可以相互转化的。解题时,要重视运用形数结合和转化的思想方法,多渠道地探索解题途径。

例设a、b、c是三个非负实数,求证:a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2(a+b+c)

分析:本题是带根号的不等式证明问题,直接去证有困难。但我们把它转化为复数:令z1=a+bi,z2=b+ci,z3=c+ai,则|z1|=a2+b2,|z2|=b2+c2,|z3|=c2+a2,再利用复数不等式去证,问题就变得非常容易。

再如,已知a2+b2=1,求a1-b2+b1-a2的值。

分析:本题有a2+b2=1,故可令a=sina,b=cosa,运用三角换元法,可以很简捷地求出问题的结果。

三、重视一题多解、一法多用、一题多变、多题概括的训练

一题多解是指对一个习题,从多方面、多角度、多层次去思考,既要注意正向思维,又要注意逆向思维,运用不同的数学方法进行解答,解答后要及时总结,选出最佳思路和方法。

例如,长度为ι(ι≥1)的线段AB两端在抛物线y=x2上移动,M是中点,求M离x轴最近时的坐标。

解法一,用参数法借助三角函数不等式求解;

解法二,用判别式法借助不等式求解;

解法三,根据抛物线定义借助不等式求解;

……

一法多用,是指对重要的数学解题思路和方法,像换元法、形数结合法、解析法、复数法、参数法、待定系数法,去解答不同情况、不同内容、不同类型的题目。这样一方面可以更灵活、更深刻地掌握解题思路和方法,另一方面可以增强数学知识和问题的横向联系。

一题多变,是对一道习题,从改变条件或改变结论或改变结构等方面入手,使一题变为多题,这样不仅可以丰富习题的内容,而且可以对数学方法的灵活性有更深刻地理解。

多题概括,是指对做过的多个题目进行综合分析,找出共性和差异,抽象概括出共同的解题思路和方法,以增强数学题的谐和性,提高对习题中的一般问题和特殊问题的辩证性的认识。

四、讲究解题格式,做到准确、简练

高中数学习题的解答过程一般比较复杂,特别是立体几何习题,叙述更加困难,处理不好,不但冗长,而且容易导致错误。

在叙述解题过程时,一般要做到:

(一)尽可能使用符号化数学语言。

不少数学家在总结解题经验时指出:解题就是把题归结为已经解过的问题。这无疑是一条成功的解题经验。因此,我们在解题训练时,要注意记忆一些典型的基本题目的结构和解法,还要时时注意在解新的题目时,思考它与自己解过的哪个题目相类似?可以化归为哪个已知题目?它们有何差异?采取什么措施加以弥补。

例如,高中解析几何课本习题八第8题,过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1、y2,求证:y1y2=-p2。

如果把本题的结构、结论和解题方法记住,许多涉及抛物线焦点的问题都可以归结于它。像本习题的第13题,利用它去证将十分简便。

又如高中代数课本中,不等式一章的习题十八第11题:求证(a+b21)≤a2+b22。实质上是一个应用很广的公式,很多有关不等式的证明可以归结于它。

(二)只写出主要解题步骤,以不使推理脱节为限。

(三)正确使用简化三段论式,即大前提一般不写,只写出小前提和结论。

(四)注意分节、分行及标点。

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