传统的教学方式往往是教师发起谈话(通常是提问的形式)，学生作出反应，之后教师作出评价，接下去又是一个新的问题，在这样的课堂环境中，大部分的情况是教师输出信息，学生被动地接受信息，教师和学生之间只进行着一对一的交流，没有问到的学生常常会出现事不关己，高高挂起的情况，使学生失去了许多表达自己想法、观点的机会及学生间相互交流、合作的机会。而在小组讨论活动中，每个学生都有机会。
在采用小组讨论教学法必须遵循以下几个基本原则：
1．合理性原则。
教师所组织的小组讨论活动必须是合理、切实符合教学要求的。也就是说教师要从“一切活动为了学生，为了学生每个方面”的目的出发，进行小组讨论，必须用得合理，要明确为什么用，同时所讨论问题要经过精心的设计，科学安排程序，使讨论名副其实。
2民主性原则。
民主性的原则要求不仅在教师与学生之间实现真正的民主，更要在生生之间实现民主，建立平等、民主的学习氛围。事实上，只有在平等、民主的氛围中，才能实现学习者畅所欲言、激烈讨论和辩论的情况。虽然小组讨论法在实现民主课堂、多向交流上具有许多优势，但并不是说教师采用了这种讨论教学法就可以自然而然地理解学生，尊重学生，并以学生为中心组织课堂教学，实现民主课堂，多向交流。因此教师必须在日常的教学中，逐步实现平等、民主的学习环境。
3．平衡性原则。
(1)使各个小组之间的势力保持平衡。教师在组建讨论小组时，应兼顾成绩、学生的意愿、兴趣爱好、男女比例、背景、学习基础、个性心理等特征进行合理搭配，使各组间无明显差异，尽量使各小组间的实力保持平衡，因为只有平衡才能激发学生竞争的愿望。
(2)使学生在小组中的角色、地位保持平衡。教师可以采用轮换的方式，使学生在小组中扮演不同的角色，实现不同的参与方式。假如这次负责记载结果数据，那么下次就可以负责操作测量或其他的任务。事实上，不同参与方式的经验拓宽了学生观察问题的视野，激励他们不断尝试各种新奇的方法，全方位，多层次地进行研究活动，真正地做到使每个学生都能积极地参与到活动中去。
(3)使学生发言、表述的机会保持平衡。调查发现，在小组讨论中经常会出现一部分学生讲起来滔滔不绝，而另一些学生却始终得不到自我表现的机会。而当一定数量的学生长期感到被排斥在讨论之外时，讨论就会失去平衡。因此教师要尽量使每个学生都得到发言、辩论的机会。
4．深刻性原则。
深刻性的原则主要指讨论应在深层次上拓展。也就是说讨论的问题应该有质量，有一定的难度和深度。同时教师应引导学牛从知识的发生和发展过程中去感悟和理解，要在“知其然”、“知其所以然”，“举一反三”的能力发展上逐步深化，要促使学生积极地思考，而不能仅仅追求表面的热闹。
一般来说，小组讨论大致需要经历以下几个环节：定题，小组组内讨论，各小组表述自己的观点和结论，教师对讨论结果进行评论和总结。
1．定题。
如何设置问题是小组讨论能否顺利开展的前提。教师应紧扣教学目标，根据学生学习的实际情况提出具体而明确的讨论题，使小组讨论有方向、有价值。教师要尽可能用清晰、通俗易懂的语言表述出来，使学生在面对问题时，能够迅速地明确自己的思考方向而不必为弄懂教师提问的词语和意图而苦思冥想。教师所选择的问题必须难度、范围适宜，问题如果过大，会造成学牛不知所措，无从下手，问题过难，超出学生的认知水平和理解能力，学生望而生畏，短时间内无法解决问题，问题过易，学生可以立刻说出答案，那也就失去了讨论的意义。因此，教师设计问题时要综合考虑学生的能力，思考方式，既要具有一定的挑战性，能够激发学生积极思考、讨论，还要让他们通过努力取得成功，让身与心，知与情都动起来。
2．小组组内讨论。
在学生获得所要讨论的题目后，就需要针对问题提出自己的观点和意见。小组成员间通过自我表述、相互倾听、交流、辩论，逐步取得共识，获得所需要的解决方案。在小组讨论中，教师要引导学生进行独立思考，而不能依赖于小组中能力突出、成绩好的学生，决不能出现代为思考、人云亦云、随声附和的情况，尽可能让每个学生都有展示自我的机会。
3．各小组表叙自己的观点和结论。
在小组组内讨论结束后，各个小组选派代表将所在小组的观点和结论表述出来，实现结论共享并进行组间辩论，通过师生的共同讨论，促使讨论向纵深发展，使学生的知识和能力都得到发锓。
4.教师对讨论结果进行评论和总结。
在讨论的最后阶段，教师要对学生的意见、观点和结论进行受时的总结，取得最终的结论。在开展小组讨论教学中，教师必须要注意：
1．具备合作意识是小组讨论成功的保障。
合作交流体现了个人的优良品质和风采，体现了“团结就是力量，合作取得成功”的团队精神。合作交流能力是学生必须具蚤的基本能力，因为只有会合作，能合作，才能使讨论真正地进亍下去。困此教师要让学生充分认识合作交流的重要性，通过小组讨论，深切感受这种重要性，让学生明确个人的能力是有限的，成功需要与他人合作交流，集思广益。
2．适宜时间是实现高效讨论的条件。
课堂教学只有有限的45分钟，在小组活动时，教师一定要掌握好时间，在放手让学生讨论前，先要充分估计所提出的问题的难度，讨论所需要的时间，让学生可以既充分考虑、探讨问题，又做到合理利用时间。适度的紧迫感可以提高学生思维的敏捷性，促使学生更加积极地思考和讨论。
3．教师要对学生进行适度的指导。
虽然小组讨论活动是学生的自主学习活动，但同样离不开教师的合理指导。在开始小组讨论之前，教师要针对问题的关键点拨学生，让学生明确问题的主旨、切人点和讨论的方法等。在进行小组讨论的过程中，教师也要尽量顾及每个小组的情况，及时了解学生讨论的进展情况，监控学生讨论的内容和方向，引导学生从不同角度去思考问题，并针对讨论过程中出现的问题和困难给予指导，特别是对那些学习成绩较差或不善于进行口头表达的学生，要鼓励他们敢于发表自己的意见，敢于参与讨论，帮助学生掌握一定的合作讨论技巧，学会准确表达自己的意见，学会倾听，学会交流，学会协作，学会互相尊重，促使讨论得以顺利、科学、高效地进行并最终取得预期的效果。
4．不仅对讨论的结果进行评价，更要对讨论的质量进行评析。
采取小组讨论的教学方式并不仅仅是为了找到“问题”解决的答案，更重要的是培养和训练学生，使他们在学习、讨论中学会准确表达自己的意见，学会倾听，学会交流，学会协作，学会互相尊重。因此，教师在“小组讨论”之后，应有意识地对讨论的质量进行评析，以促进学生“讨论”能力的增强，综合素质的提高，为以后出现更加科学高效的小组讨论打好基础，铺平道路。
（第十一节 ）变式教学法
变式是指相对某种范式(即数学教材中具体的数学思维成果，含基本知识、知识结构、典型问题、思维模式等)的变化形式，就是不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质特征不变的情况下，使事物的非本质属性不断迁移的变化方式。变式有多种形式，如“形式变式”、“内容变式”、“方法变式”等。变式是模仿与创新的中介，是创新的重要途径。变式既是一种重要的思想方法，又是一种重要的教学途径。采用变式方式进行教学叫做变式教学。变式教学要求在课堂上通过变式展示知识发生、发展、形成的完整的认知过程。因此，变式教学有利于培养学生研究、探究问题的能力，是“三基”教学、思维训练和能力培养的重要途径。
运用变式教学法进行教学，除应遵循一般的教学原则外，还必须贯彻以下几条重要原则：
1．目标导向原则。
数学教学是师生围绕既定目标而进行的双向活动。因此，教师首先要根据教学内容和学生实际制定出具体明确、切实可行的教学目标，然后，在课堂教学过程中采用变式教学模式，学生在教师启发、引导下完成既定的教学目标。
2．启迪思维原则。
数学教学是思维活动的教学。学生思维的积极性和主动性依赖于教师的循循善诱、精心启发。运用变式教学模式教学，教师必须精心设计问题情境，“把问题作为教学的出发点”，“让问题处于学生思维水平的最近发展区”。引导学生逐步发现问题、提出问题、分析问题、解决问题。通过创设思维情境，设置思维障碍，舔设思维阶梯等手段激发学生的好奇心，唤起学生的求知欲。
3．暴露过程原则。
数学教学是教学思维活动过程的教学。让学生看到思维过程，主动参与知识的发现，是提高学生学习积极性和发展其数学能力的有效措施。运用变式教学法教学，讲解概念要求构建情境，提供素材，揭示概念的形成过程，讲解定理(公式)要求模拟定理(公式)的发现过程，例题、习题的教学要求探索变式，对解题思路进行内化、深化，总结升华。也就是说，应注意数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程，使学生在这些“过程”中展开思维，从而发展他们的能力。
4．主体参与原则。
运用变式教学法教学，特别强调学生的主体地位与主动参与，注重让学生自己动脑、动口、动手，让他们主动地获取知识，在实践中去观察、探索、发现问题和解决问题。而教师一方面应努力创设启发引导的问题情境，营造民主、宽松、和谐的教学氛围，形成相互尊重、信任、理解、合作的人际关系，培养学生主动参与的意识；另一方面应运用灵活新颖的教学方法来激发学生的主动性、创造性和求知欲，使学习成为真正意义上的学生个体的内在需要和追求，成为学习主体表现自我的自由方式。
5．探索创新原则。
在应用变式教学法的教学过程中，教师要善于运用设疑、启发、鼓励、指导、评价、总结的策略，教学生学会学习，使学生乐学、善学。对教师的具体要求是：(1)运用变式教学，发掘教材教法新意，激发学生学习的动机和兴趣。(2)营造民主、安全、幽默、开放、温暖、相互支持的创新学习氛围。(3)精心设计创造性的问题。(4)对于已具备基本探索意识和能力的学生，鼓励其自主创新。
6．因课而异原则。
数学教学模式受到教学内容、教学目标和教学思想的制约。任何一种教学模式都不是万能的，它只能适合某一类课型，不同的课型完成不同的教学任务，而教学任务的多样性，决定了教学模式的多样化。
“变式教学”的基本内容包括知识形成过程中的问题设计。基本概念辨析型变式；定理、公式的深化变式、多证变式和变式应用；例题、习题的一题多解、一法多用、一题多变、多题归一；教法、学法的切换等。
例1弦切角概念的辨析变式设计。
在图22中，若AB为⊙O切线，则∠CAB是⊙O的弦切角的是。
例2直线垂直于平面的判定定理的形成变式。
如图23所示，四边形ABCD中，删：BA-BC，DA＝DC，AC与肋相交于O，问AC与肋的位置关系怎样？
变式1：如图23把图(1)中四边形ABCD沿AC折成空间四边形，猜想AC与平面BOD有怎样的位置关系？将变式1变成数学命题，得变式2：如图24若AC∩BO∩DO＝O，BO、DO∈α，AC⊥BO，AC⊥DO，则AC⊥α。有了前面的铺垫，在教师的引导下容易得到变式2的证明，证明完成后，讨论问题：变式2中是否必须有AC∩BO=O，AC∩DO＝O？是否一定要BO∩DO=O？引导学生讨论得出变式3，即，
定理：若m∩α，n∩α，m∩n=B，l⊥m，
例3两角和的正切公式的变式。公式：tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα·tanβ以-β代β，得：
变式1：tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ利用特殊化的思想可得：
变式2：tan2α=2tanα1-tan2α
变式3：tan(45+α)=1+tanα1-tanα
变式4：tan(π+β)=tanβ(诱导公式)
tan(π-β)=-tanβ从而推广引申的角度对公式进行变式，可得变式5：
tan(α+β+γ)=tanα+tanβ+tanγ-tanαtanβtanγ1-(tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα)
在变式5中：含α+β+γ=kπ(K∈z)又得变式6：α+β+γ=kπ(K∈h)
tanαtanβ+tanγ=tanαtanβtanr从数学美的角度对公式进行变式，可得：
变式7：tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)
变式8：tanαtanβ=1-tanα+tanβtan(α+β)
变式9：1=tanαtanβ+tanα+tanβtan(α+β)
（第十二节 ）程序教学法
程序教学法来源于美国的鲁莱西设计的一种进行自动教学机器，利用这种机器，把教师从教学的具体事务中解脱出来，节省时间和精力。这种设想，当时没有引起重视和推广。直至1945年，美国心理学家斯金纳重新提出，才引起广大心理学和教育界人士的重视。
程序教学法是指依靠教学机器和程序教材，呈现学习程序，包括问题的显示，学生的反映和将反映的正误情况，反馈给学生，使学习者进行个别学习的一种教学方法。程序教学法的理论基础是斯金纳的操作性条件反射说和强化理论。程序教学法是老师根据学生学习过程发展的特性，将教材分解为一步一步的小步子，每一步或以填空，或以选择，或以回答方式提出问题。要求学生对每一步产生一个反应，及时强化，促进后一步的反应。这样可使学生在学习中增加正确率、减少错误率，从而掌握学习技能，使学生得到稳步前进。程序教学主要有两类，即直线式的程序和分支式的程序。
直线式程序是斯金纳首创的。其教学过程是：把学习材料由浅入深地分为若干“小单元”，以直线式的编排，每一个小单元内容写在一张卡片上，依次呈现给学生。在呈现每一个单元时，要求学生进行对答对应，如果答对了，机器就呈现出正确答案，然后进入下一步，否则，继续思考同答。其模式为：①—②—③……
分支式程序是美国心理学家克洛德创立的。它是直线式程序的发展，采用多重选择反应，以适应个别差异的需要。其教学过程是：将教材内容依次分为若干单元呈现给学生，在学生阅读了一个单元的教材之后，立即对他进行测验(测验题有正、误的多项选择答案)，如果选对了，就引进新的内容，进入下一单元的学习；如果选错了，便引向一个适宜的单元，冉继续学习，或者回到先前的单元再学习一遍，然后又进行问题回答，直到回答正确后进人下一单元的学习。其模式如图25：
分支式程序的进一步发展，是利用计算机进行辅助教学(CAI)。
