不规则碎片形的自相似性
俗话说：“见一知十”，中国也有“窥一斑而知全豹”的古语，这些都淋漓尽致地反映出不规则碎片形所具有的散乱模式特点。
不规则碎片形具有部分反映整体的“自相似性”，即当把整体分解成部分时，其各部分与分解前整体具有完全相同的特点。在自然界，具有不规则碎片形的事物不胜枚举。冬天里飘落的雪花、蕨菜叶，还有吃的椰菜也都呈不规则碎片形。
英国海岸线长
对不规则碎片形进行正式研究的人是法国数学家曼德布洛特(Mandelbrot)。他望着复杂的英国西部里亚式海岸线，对其长度产生了浓厚的兴趣。
深深凹陷的海岸线蜿蜒曲折，测量如此复杂的地形地貌难度很大，尤其因尺的刻度不同，测量出的海岸线势必会有很大差距。比如说，用1米刻度的尺和用1厘米刻度的尺所测量出的海岸线长度会出现很大差异。
曼德布洛特于1975年将这一研究成果编成书予以出版。他想了很多名字，最后从“破碎”的拉丁语frangere中派生出来的单词fracture(分裂)和fraction(碎片)得到启发，取名为“不规则碎片形”(fractal)；此外，该名称与不规则碎片形不是整数，而是分数(fraction)也有一定的关系。
科赫曲线
“科赫曲线(Koch curve)”是科赫发明的像雪花一样的曲线（如图9所示）。将正三角形的各边三等分，在其中间部分(从1/3至2/3)画一个正三角形，然后切下这个正三角形的底边。在新出现的边上用同样的方法进行反复操作就会得出不规则碎片形的科赫曲线。
在各边中间每进行一次正三角形的制作过程，其长度就会增加4/3倍。
从中我们可以看出，科赫曲线周长无限延伸，但总是不会超出一定的范围。也就是说，在有限的面积内可包含无限的长度。
线是一维，平面是二维。从科赫曲线的形状看，与直线相比其面积相对较大，但又不是完全的平面。
所以，可以这样推测，科赫曲线一维有余，二维不足。根据不规则碎片形的维数计算方法计算得出，科赫曲线为1.2618维。
腺泡与生菜叶
在人体内也能找到不规则碎片形的例子。
腺泡在狭小空间内实现面积最大化，使其能够更加有效地运送氧气，而椰菜形状的不规则碎片形为此提供了依据。还有，通过观察生菜叶你就会发现，皱褶部分里又含有皱褶部分，这种结构也是不规则碎片形。
大部分生命体为了形成稳定的结构，喜欢选择物理上的低能量状态。生菜叶在形成不规则碎片形结构时，其能量下降，形成结构稳定的弹性平衡状态。无论是腺泡，还是生菜叶，追求最合理的自然本性与不规则碎片形是一脉相承的。
