在古老的叙利亚，有一次，国王赫农王想制作一顶纯金的王冠，因为王冠是至高无上的王权的象征，便找来了全国手艺最好的金匠为他制作精美的王冠。做好后，国王疑心工匠在王冠中掺了假或者别的金属，但这顶王冠的确与当初交给金匠的纯金一样重，在外形上就更加看不出问题了。究竟工匠有没有捣鬼呢？既想检验真假，但又不能破坏王冠，这个问题不仅难倒了国王，也使诸大臣面面相觑、束手无策。
国王便把这个难题交给了全国最聪明的人——阿基米得。最初，阿基米得冥思苦想了多日，也没有找到好的办法。有一天，他去澡堂洗澡，当他慢慢坐进澡堂时，阿基米得注意到他的胳膊浮到水面。他的大脑中闪现出模糊不清的想法。他又把胳膊完全放进水中，全身放松，这时胳膊又浮到水面。他从浴盆中站起来，浴盆四周的水位下降；再坐下去时，浴盆中的水位又上升了。他躺在浴盆中，水位则变得更高了，而他也感觉到自己变轻了。他站起来后，水位下降，他则感觉到自己重了。一定是水对身体产生向上的浮力才使得他感到自己轻了。
他望着溢出来的水，突然兴奋地跳出澡盆，连衣服都顾不得穿，大声喊着”尤里卡！尤里卡！“（意思是”我知道了“）就跑了出去。
原来，水的外溢给了他灵感，让阿基米得想到，可以用测定固体在水中排水量的办法，来确定王冠的比重。他兴奋的回到皇宫，要当着国王和工匠的面做一个实验。
王宫的大厅里挤满了好奇的大臣们，国王与造金冠的工匠也在场。大家都紧紧地注视着阿基米得的一举一动：只见他首先拿出了一块跟当初国王给金匠同样的纯金，接着取出金冠，又让人准备了两个盛满水的小盆，这两个小盆又放在两个空着的大盆内。做好了这些准备，他把王冠和纯金分别放入两个小盆里，水立刻溢到了大盆中，接着，阿基米得让人比较两盆溢出来的水，发现放工冠的盆里溢出来的水比另一盆多。此时，阿基米得向大家宣布道：这金冠掺了假！因为王冠的体积比相同重量的纯金的体积大。
围观的人群都发出了一阵惊叹，可是阿基米得还不满足，他仔细测量了水的重量，在一旁演算起来。最终，他利用金、银的密度和水的重量，精确的算出了工匠到底掺了多少银。当他宣布自己的结果时，那个工匠目瞪口呆，再也无话可说，被国王命人带了下去。
阿基米得出生在叙拉古的贵族家庭，父亲是位天文学家。在父亲的影响下，阿基米得从小热爱学习，善于思考，喜欢辩论。长大后漂洋过海到埃及的亚历山大里亚求学。他向当时著名的科学家欧几里得的学生柯农学习哲学、数学、天文学、物理学等知识，最后通古博今，掌握了丰富的希腊文化遗产。回到叙拉古后，他坚持和亚历山大里亚的学者们保持联系，交流科学研究成果。他继承了欧几里得证明定理时的严谨性，但他的才智和成就却远远高于欧几里得。他把数学研究和力学、机械学紧紧地联在一起，用数学研究力学和其他实际问题。保护叙拉古战役中的机械巨手和投石机等就是最生动的一个例子，有力地证明了”知识就是力量“的真理。在亚历山大里亚求学期间，他经常到尼罗河畔散步，在久旱不雨的季节，他看到农人吃力地一桶一桶地把水从尼罗河提上来浇地，他便创造了一种螺旋提水器，通过螺杆的旋转把水从河里取上来，省了农人很大力气。它不仅沿用到今天，而且也是当代用于水中和空中的一切螺旋推进器的原始雏形。阿基米得在他的著作《论杠杆》（可惜失传）中详细地论述了杠杆的原理。
有一次叙拉古国王对杠杆的威力表示怀疑，他要求阿基米得移动载满重物和乘客的一艘新三桅船。阿基米得叫工匠在船的前后左右安装了一套设计精巧的滑车和杠杆。阿基米得叫100多人在大船前面，抓住一根绳子，他让国王牵动一根绳子，大船居然慢慢地滑到海中。群众欢呼雀跃，国王也高兴异常，当众宣布：”从现在起，我要求大家，无论阿基米得说什么，都要相信他！“上面讲到的金王冠的故事，阿基米得又做了很多次试验，他把差不多同样大小的石块和木块同时放入浴盆，浸入到水中。石块下沉到水里，但是他感觉到石块变轻。他必须要向下按着木块才能把它浸到水里。这表明浮力与物体的排水量（物体体积）有关，而不是与物体的重量有关。物体在水中感觉有多重一定与它的密度（物体单位体积的质量）有关。
最终，在《论浮体》一书中，阿基米得从一些明晰的公理出发，通过严密的逻辑论证，建立了他的浮力定律。阿基米得首先假设，液体具有这样的本性，在其粒子均匀分布和连续的情况下，较少受挤压的粒子将被受挤压较多的粒子挤出去；液体中的个别粒子将受到它上面粒子的垂直压力。根据这个假设，阿基米得首先证明了静止液体的表面是球形的，且球心与地心相一致。因为若不如此，液体的一部分将比另一部分受压更多。根据假设，将导致受挤压较少的液体粒子的移动，这就和静止液体的假设相矛盾。
接着，阿基米得又证明了如下命题：
与液体有相同比重的物体（在体积相同的条件下与液体有相同的重量）浸入液体中时，其上表面完全不突出，但又不会沉下去多深；比重比水小的物体将浮起。
推论一和推论二合在一起就是浮力定律，又称阿基米得原理。概括起来讲就是：浸在水中的物体所失去的重量，等于它所排开的水的重量；浮体所排开的水的重量等于它自身的重量。阿基米得的证明方法简单而深刻，以阿基米得为代表，古代的方法论也达到了最高点。浮力的大小可用下式计算：F浮=ρ液（气）gV排。
阿基米得发现的浮力定律在航海等领域有重要意义，密度等重要的物理概念也通过浮力定律得到发展。一直到现代，人们还在利用这个原理比重和测定船舶载重量等。现在物理学上用来测算不溶于水的、不规则的固体密度，一般都是采用这种方法。在称量出物体的质量后，将它浸没在标有刻度的容器的水中，分局前后水位高低变化可以求得它的体积，单位体积内的质量即为它的密度。事实上，在王冠一事中，纯黄金的密度是一个定制，掺杂后它的密度就变了，而阿基米得正是这样求了2次密度：
王冠密度=王冠质量／王冠体积（克／厘米纯金密度=纯金质量／纯金体积（克／厘米问题便迎刃而解了。
阿基米得也因为他的先进的论证方法和科学活动，一直得到各个时代科学家的高度评价。达·芬奇是阿基米德的崇拜者；伽利略以阿基米得的继承人自居；莱布厄兹评价说，了解阿基米得的人，对后代杰出人物的成就就不会再那么钦佩了。20世纪的美国数学家、哲学家怀特海说过，数学的天才同物理学的洞察力兼而有之的阿基米得，可以和在他之后的牛顿相提并论。
