罗素的数学思想来源于他的哲学思想。他的哲学思想最初是实在论的，受柏拉图哲学的影响很大。20世纪初他转向逻辑实证主义，提出逻辑原子论，要求从相当于逻辑上原始命题的原始事实出发，以这种事实作基本元素，由此构造出整个世界。这说明，罗素的哲学思想是唯心主义的。罗素要使哲学成为科学的一部分，主张哲学家进入科学并参与科学的改造。
罗素作为分析哲学的创始人和奠基者，在本世纪精神文化历史上，刻下了深深的痕迹。可以不夸张地认为，20世纪的哲学家，几乎没有一个不在某种程度上受到罗素的影响。他既是一位哲学家，又是数学家、逻辑学家和社会活动家，甚至还被誉为优秀的散文大师，在1950年获诺贝尔文学奖。罗素学识渊博、思维敏捷、著述丰富、观点多变。自1900年他经历了对黑格尔唯心论的反叛后，尊重科学、尊重逻辑、尊重经验是其一贯的特征。他严肃而有点过时地要求，我们一切信念部必须放在哲学的审判台上，并证明它是合理的。罗素自称终生为如下三种激情所支配：对真理的不可遏止的探求，对人类苦难不可遏止的同情，对爱情的不可遏止的追求。尽管罗素的哲学观点今天不少业已过时，但从他一生漫长的经历中，人们看到了一位苦力思索、从善如流、幽默机智、仗义执言的现代学者形象。罗素的思想渊源于以洛克、贝克莱、休谟、穆勒为代表的英国经验主义传统，直接受到弗雷格的深刻影响，英国哲学家新黑格尔主义者布拉德雷的反心理主义以及本世纪自然科学的伟大变革，也对罗素有一定的影响。他的目标，是要在经验主义的基地上，依靠现代高度发展了的逻辑分析技术，寻求人类知识牢固而坚实的基础，以及科学可靠无误的根据。
一、为外在关系辩护
罗素之所以开创了分析哲学，很大程度上溯源于他对黑格尔的一元唯心论的反叛。按照黑格尔的辩证法，宇宙万物都是相互联系的，是一个有机整体，事物之间的相互关系都是内在的，这种关系其实是每种事物自身的内在性质。分立性是不实在的，个别事物表面上的独立性，完全是幻觉。事实上，黑格尔认为只有“整体”，“大全”才是实在的，才是真理，因而，要完全了解任何有限事物，必须了解宇宙整体。罗素对这种内在关系一元论发起了挑战，他要捍卫人类获得单个有限真理的权利。
事物间的关系究竟是内在的还是外在的？罗素为外在关系的存在作了著名的辩护。让我们考察一种简单的不对称关系，譬如： A大于B这种关系，既不表明A与B有何共同性质，也同A与B各自的本性无关。罗素认为内在关系论无法说明这种关系，因为按照内在关系论，上述“大于”这种关系就应进一步归结为A和B的内在性质，这显然是荒谬的（说A与B具有“大于”这种性质是无意义的），事实上，“大于”与A和B二者自身的性质无关。“大于”关系本身就是不可再分的终极项。这种关系是外在的关系，它在逻辑上是一个独立的类别，是实在的。
罗素根据自己对数学基础的长期研究，认为如果我们坚持每一关系都进入到它的关系项的本性之中，数学就无法存在。因为若按内在关系说，在数学中，当我们能了解某元素与其他元素的关系之前，我们首先得知道我们所说的元素是什么，但我们根本无法首先知道该元素，因为它与其他元素的内在关系是未知的。因此事物间的关系只能是外在的，不可能是内在的。罗素进而推论，个别事物是实在的，是可以独立的，个别真理是成立的，实在是可以分析的复合体。他由此得出了多元论的宇宙观。
二、逻辑原子主义
逻辑化的多元主义本体论，就是罗素著名的逻辑原子主义。罗素曾说：“我所提出的哲学可以称之为逻辑原子主义或绝对多元论，因为它肯定存在着许多个别事物，并否定了由这些事物构成的某种统一性。”逻辑原子主义认为，了解任何主题的实质途径是分析，对某一事物不断进行分析，直至无可分析为止，那时所剩下的就是逻辑原子。他还说，我把它们称作逻辑原子，是因为它们并不是小粒的物质，而是构成事物的所谓观念。
逻辑原子论实质上是罗素早期本体论的核心。其要点为：世界是由事实构成。事实是使一个命题或者真，或者假的东西。最简单的事实是原子事实，与原子事实相对应的是原子命题。与复杂事实相对应的是分子命题，分子命题可以分析为由原子命题组成。原子命题的真假决定了分子命题的真假，原子命题相互间是独立的，不可相互推论，也不相互矛盾。原子命题分析的终点，只由专名和谓语构成，是其他命题的依据。原子命题与原子事实同构。分子命题与复杂事实同构。整个宇宙就是建立在原子事实之上的逻辑构造，它同构于一个理想化的逻辑语言体系。
由此可见，罗素的逻辑原子论蕴涵一个根本的哲学假设，即语言（这里指理想的语言）与世界在结构上具有同型性。只有承认这一原理，才能保证语言能描绘世界。
三、中立一元论
罗素的逻辑主义倾向使他在以后的哲学发展中更加强烈地追求简化对世界的逻辑描述，这就导致了他后期的“中立一元论”这里的一元论绝不指黑格尔式的整体式，统一化的绝对一元抡，而是指取代心物二元论的中立一元论。问题是从对心与物的分析开始的。罗素的目标，是取消精神与物质的界限。他的分析方式，受到奥地利哲学家马赫和美国哲学家詹姆士的强烈影响。
所谓中立一元论，一言以蔽之，即整个世界，无论心或物，都可归结为感觉。他说：“我相信，构成我们经验世界的材料，既不是心，也不是物，而是比二者更为原始的东西。心和物二者似乎都是复合物，而组合它们的材料是介乎二者之间和处于二者之上的东西。”罗素的分析概略如下：他首先论证必须取消感觉主体和感觉对象的划分，他借用詹姆士和马赫的分析说，感觉是一种独立自存的事实，不是具有两个关系项的关系性事件。他说：“感觉是对于心理世界和物理世界共同的东西。”进一步他把感觉看作逻辑上第一位的东西，它可以简化对世界的描述。因此，在逻辑上可取消心与物的固定划分，使感觉不是二者之间关系的产物。于是他指出“……如果感觉基本上不是具有关系性的事件，就无需乎把心理上的和物理上的事看作基本不同的，很有可能把心和一块物质都看作是逻辑的构成品，这种构成品是由无大分别或实际上是相同的材料形成的。”
于是，心和物都成了感觉的复合，它们的区别，只在于感觉排列的方式不同而已。“一个感觉可以借一个记忆连锁和一些别的事项归为一类，那样，它就成了心的一部分；也可以和它的因果上的前项归为一类，那样，它就是物理世界的一部分。这种看法把事情弄得非常简单。当我意识到放弃了主体就可以承认这种简单化的时候，我很高兴，认为传统上心和物的问题算是完全解决了。”
罗素利用爱因斯坦的相对论对经典物理学的扬弃更进一步发挥了这种非心非物的中立一元论。他指出，经典物理学的世界观已经失效，宇宙不再是在绝对空间中运动的具有持续性的物质说——粒的集合。实体这一古老的概念应当抛弃了，爱因斯坦用四维时空代替绝对的空间和时间，以“事件”代替了实体。各事件与其他事件之间有一种称作“间隔”的关系，可以按不同方式把这种间隔关系分解成时间因素和空间因素。这些不同方式的选择是任意的，没有一方优于另一方。倘若在不同时空、不同区域有两事件A与B，那么，按一种约定，两者是同时的；按另一约定，A比B早；再按其他一种约定，B比A早。并没有任何物理事实与这些不同的约定相当。这样，既然事件间的关系是相对于观察者来决定的，它当然就不是什么纯粹客观的物理的东西，而同时具有精神的要素。于是，物与心，物与精神的界限消融了。这正是中立一元论所追求的目标。
我们通过对上述问题的考察不难发现，罗素在构筑他的本体论时，遵循着这样一种原则，只要有可能，就要用已知实体（已知的对象）的构造来，替未知实体的推论（如自我、物体等等）。这正是一种理性化的逻辑主义构造论。
四、摹状词理论
值得注意的是，尽管罗素一生提出了很多哲学主张，但他对后世哲学的影响，却主要不在这些主张而在他研究哲学的方法—逻辑分析。这一方法对英美哲学发生了深远而持久的影响。
首先，他提供了从事分析的工具。在他与怀特海合著的划时代的数学基础《数学原理》为数理逻辑奠定了基础，它成了分析哲学家极其锐利的武器。从某种意义上可以说，不懂符号逻辑，就不能从事分析哲学。
其次，他自己为从事这种逻辑分析的实践提供了典范。这里特别著名的是他的“摹状词理论”，它既是罗素在逻辑学上，也是他在哲学上的一个重要贡献。
摹状词理论显示了逻辑分析在哲学中的重要作用，强调了（自然）语言结构与（逻辑）命题结构的差异性，取消了肯定虚构事物的本体论，指出了专有名词是实体的灵魂，突出了罗素的基本论点。即逻辑是哲学的本质。从而显示了他哲学研究的基本风格。摹状词理论缘起于罗素想解决哲学史上的如下困难：
首先，是虚拟事物的存在性问题，即自然语言的普通句子的主语是否都表示逻辑命题的主项的问题，这就是著名的“金山难题”倘若我说：“金子的山不存在。”若有人反问：“不存在的是什么？”我说：“那是金山。”这就似乎把某种存在赋予了金山。类似的情况还有当今的法国国王是秃顶，无论回答是或不是秃顶，都蕴涵了当今法王的存在。简而言之，我们如何才能用严密的逻辑语言避免上述自然语言把存在性赋予非实在物的尴尬情况这是面临的困难之一。
其次，是关于同一律是否普遍适用的问题。这个在罗素之先弗雷格就看出来了，如：“里根是美国现任总统。”这句话表达了专有名词“里根”与短语“美国现任总统”的同一性。既然具有同一性，则二者可替换，于是，原话成“里根是里根”，变成了同语反复，没有意义。然而，原话是有意义的，它指出了一个事实。这里的问题何在同一律还有无普遍性。
第三，罗素企图澄清哲学史上使用“存在”一词时所陷入的混乱和长达数千年的思辨。过去把“存在”当作谓词，产生了一系列哲学问题，如黑格尔式的“存在”虚无变化的思辨。鉴于上述以及其他一些困难，罗素创立了摹状词理论，以澄清问题，从而重建逻辑上完全的语言。
首先罗素研究了个体词的逻辑作用问题。他将个体词分两类：（1）专名，如：里根，上海，天安门。（2）摹状词，如：美国现任总统、中国最大的城市、相对论的创立者、15和19之间、那个素数等。摹状词描述某一特定事物某方面的特征，并且该对象是独一无二的。根据摹状词理论，逻辑命题的主项是专名的指称物，该指称物就是该专名的意义；摹状词不是专名，只是一个不完全的符号，不代表命题主项。它的逻辑作用与谓词相同，仅表示某种性质。譬如，用摹状词理论分析“金山问题”，应表述为，就调的一切值而言，X是金的且X是一座山这个命题函项是假的。这样就不再赋予金山以实在性了。再如，对“当今的法国国王是秃顶”可作如下分析：至少有一个X是当今法国国王，至多有一个X是当今法国国王，X是秃顶。这样，赋予“当今法国国王”的实在性就在分析中消失了。
在上述分析中，摹状词（当今法国国王）已不再是主词，而是谓词了，这就剔除了自然语言造成的困惑，重建了精密化的逻辑语言。这清楚地显示出自然语言的语法结构不一定同其逻辑结构一致，而这种不一致正是造成前述困难的根源。可看出“专名”和“摹状词”的逻辑地位根本不同，摹状词不能作命题主词，只能作谓词，只有专名才能做主词。一旦专名作主词出现，其指称物的存在业已不言而喻地蕴涵于其中。因此，在严密的逻辑句法中，专名与“存在”不能联在一起，即“存在”不是谓词。这里，我们看出了历史上把存在作为谓词的根本的谬误。“存在”根本不表示一种性质或动作。由于“存在”不能作谓词，罗素据此认为，科学史上所有关于“存在”所作的思辨统统是错的，是严格意义上的错误，这是把存在视作一种性质，视作谓词所产生的。这种谬误，在罗素看来，应当一劳永逸地送进历史博物馆。
我们从这里可以窥见罗素的逻辑分析手法和风格。他在哲学史上第一次把对语言的逻辑分析置于中心位置。因我们无法逃出语言的魔障，以致史称这是西方哲学划时代的“语言的转向”。
罗素提出研究哲学应当采用客观的态度，不论研究对象是谁，研究者应当先设身处地地站在研究者的立场，完全彻底地体悟其思想底蕴及全貌，方可做到公正地评判。此外，罗素还特别强调“我们必须学会坚持提问的权利，但特别注意在怀疑的同时不要丧失思想的敏锐。”罗素一生的追求可说是力图作为大众良知最热烈的发言人，其著作总是能够出色地把艰深的学术思想深入浅出地普及于大众，这些著作即使是从纯文学的角度看，也是无与伦比的。
他一直主张“自由教育”和“爱的教育”。认为教育的基本目的是品格的发展，而“活力、勇气、敏感和智慧”是形成“理想品格”的基础；并深信通过对儿童的身体、感情和智力上的“恰当的处理”，可以使这些品质得到普遍的培养。
延伸品味
罗素是20世纪最有影响的数学家、哲学家、逻辑家、政治学和社会活动家之一。他博学多才，思想涉及的范围极广，所著书籍、文章卷帙浩繁。他的哲学观点随着社会和科学的发展而不断改变，他的思想深邃且充满了激情和活力，他的著作文辞优美，所有这一切使他成为我们时代最为驰名并且拥有最广泛读者的哲学家之一。
罗索还是一位蜚声国际的哲学家、政论作家和社会活动家，是一个具有强烈社会关怀的人道主义者、和平主义者，他终其一生热衷于政治活动和社会事物、并且撰写了大量关于政治和社会方向的著作。他的胸怀充满正义、良知、睿智、温情，多姿多彩，博大精深。罗素文集最新的中文译本《幸福之路》和《自由之路》最能体现他的风格，也是他的代表作品。值得每一位善良、正义、向往美好人生的青年去阅读，去品味。
